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Plan cours aléatoire

Module by: Jean-Christophe Pesquet. E-mail the author

Summary: Ebauche d'un plan de cours de Signal Aléatoire faisant suite à deux discussions au sommet. Le niveau visé est celui d'une maîtrise EEA ou d'une deuxième année d'école d'ingénieur. Ce projet se situe à la fois dans le cadre du montage d'un enseignement virtuel au sein du Cub EEA et dans celui du projet connexion initié par Rice University et recevant le soutien de plusieurs grandes universités américaines.

Ce cours est sensé faire suite à des enseignements de probabilité et de traitement du signal déterministe. Il sera essentiellement consacré aux signaux aléatoires scalaires monodimensionnels et mettra l'accent sur l'étude de leurs moments du second ordre (corrélations). Pour contourner quelques points mathématiques épineux, certaines parties seront volontairement restreintes au cas des signaux à temps discret. Ce cours essaiera d'être le plus interactif possible tout en gardant une certaine rigueur dans l'exposé des résultats. Il est important que l'étudiant puisse le parcourir à plusieurs "échelles" selon son niveau et son désir d'approfondissement. On essaiera dans la mesure du possible d'intégrer des illustrations et des animations afin de le rendre attrayant. On fera souvent appel à des exemples pratiques et on donnera une vision simplifiée de quelques applications. Chaque partie sera, tout d'abord, confiée à un responsable qui en réalisera une version préliminaire, puis elle fera l'objet d'une révision tenant compte des avis critiques des autres participants du projet et de ceux de notre mentor (PhL).

Généralités sur les signaux aléatoires

Responsable : J.-C. Pesquet

  1. Définitions et trajectoires
  2. Classification des processus aléatoires
    • Processus à temps discret ou continu
    • Processus de loi discrète ou continue
  3. Moments d'ordre 1 et 2
    • Espérance
    • Puissance, processus du second ordre
    • Fonctions de corrélation
  4. Etude de quelques exemples
    • Processus de Poisson
    • Processus Gaussiens
    • Signal de modulation linéaire numérique,...

Signaux stationnaires

Responsable : C. Vignat

  1. Stationnarité au second ordre
    • Espérance
    • Fonctions de corrélation
  2. Bruit blanc
    • Bruit "blanc" à temps continu (à bande limitée)
    • Bruit blanc à temps discret
  3. Echantillonnage
  4. Ergodicité
  5. Densité spectrale de puissance, théorème de Wiener-Kintchine

Filtrage et modèles linéaires

Responsable : J.-F. Bercher ?

  1. Filtrage des signaux aléatoires stationnaires
  2. Formules des interférences
  3. Filtrage de Wiener non causal
  4. Modèles discrets
    • Modèle MA
    • Modèle AR
    • Modèle ARMA

Estimation empirique

Responsable : A. Chevreuil

  1. Généralités sur l'estimation
    • Estimateur
    • Biais et variance
    • Normalité asymptotique
  2. Estimation des moments
    • Moyenne
    • Corrélations
  3. Estimation spectrale non paramétrique
    • Périodogramme brut
    • Améliorations
  4. Estimation paramétrique
    • Estimation des coefficients d'un modèle linéaire
    • Notions d'estimation spectrale paramétrique

Méthodes récursives d'estimation

Responsable : L. Bigue

  1. Moindres carrés récursifs
  2. Filtrage de Kalman

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