Let VV be a vector space over the real or complex field FF, and let x,y∈Vx,y∈V be given. In order to prove the CauchySchwarz inequality, it will first be proven that 〈x,y〉2=〈x,x〉〈y,y〉〈x,y〉2=〈x,x〉〈y,y〉 if y=axy=ax for some a∈Fa∈F. It will then be shown that 〈x,y〉2<〈x,x〉〈y,y〉〈x,y〉2<〈x,x〉〈y,y〉 if y≠axy≠ax for all a∈Fa∈F.
Consider the case in which y=axy=ax for some a∈Fa∈F. From the properties of inner products, it is clear that

〈
x
,
y
〉

2
=

〈
x
,
a
x
〉

2
=

a
¯
〈
x
,
x
〉

2
.

〈
x
,
y
〉

2
=

〈
x
,
a
x
〉

2
=

a
¯
〈
x
,
x
〉

2
.
(6)
Hence, it follows that

〈
x
,
y
〉

2
=

a
¯

2

〈
x
,
x
〉

2
=

a

2
〈
x
,
x
〉
2
.

〈
x
,
y
〉

2
=

a
¯

2

〈
x
,
x
〉

2
=

a

2
〈
x
,
x
〉
2
.
(7)
Similarly, it is clear that
〈
x
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
=
〈
x
,
x
〉
〈
a
x
,
a
x
〉
=
〈
x
,
x
〉
a
a
¯
〈
x
,
x
〉
=

a

2
〈
x
,
x
〉
2
.
〈
x
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
=
〈
x
,
x
〉
〈
a
x
,
a
x
〉
=
〈
x
,
x
〉
a
a
¯
〈
x
,
x
〉
=

a

2
〈
x
,
x
〉
2
.
(8)
Thus, it is proven that 〈x,y〉2=〈x,x〉〈y,y〉〈x,y〉2=〈x,x〉〈y,y〉 if x=ayx=ay for some a∈Fa∈F.
Next, consider the case in which y≠axy≠ax for all a∈Fa∈F, which implies that y≠0y≠0 so 〈y,y〉≠0〈y,y〉≠0. Thus, it follows by the properties of inner products that, for all a∈Fa∈F, 〈xay,xay〉>0.〈xay,xay〉>0.
This can be expanded using the properties of inner products to the expression
〈
x

a
y
,
x

a
y
〉
=
〈
x
,
x

a
y
〉

a
〈
y
,
x

a
y
〉
=
〈
x
,
x
〉

a
¯
〈
x
,
y
〉

a
〈
y
,
x
〉
+

a

2
〈
y
,
y
〉
〈
x

a
y
,
x

a
y
〉
=
〈
x
,
x

a
y
〉

a
〈
y
,
x

a
y
〉
=
〈
x
,
x
〉

a
¯
〈
x
,
y
〉

a
〈
y
,
x
〉
+

a

2
〈
y
,
y
〉
(9)
Choosing a=〈x,y〉〈y,y〉a=〈x,y〉〈y,y〉,
〈
x

a
y
,
x

a
y
〉
=
〈
x
,
x
〉

〈
y
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
〈
x
,
y
〉

〈
x
,
y
〉
〈
y
,
y
〉
〈
y
,
x
〉
+
〈
x
,
y
〉
〈
y
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
2
〈
y
,
y
〉
=
〈
x
,
x
〉

〈
x
,
y
〉
〈
y
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
〈
x

a
y
,
x

a
y
〉
=
〈
x
,
x
〉

〈
y
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
〈
x
,
y
〉

〈
x
,
y
〉
〈
y
,
y
〉
〈
y
,
x
〉
+
〈
x
,
y
〉
〈
y
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
2
〈
y
,
y
〉
=
〈
x
,
x
〉

〈
x
,
y
〉
〈
y
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
(10)
Hence, it follows that
〈x,x〉〈x,y〉〈y,x〉〈y,y〉>0.〈x,x〉〈x,y〉〈y,x〉〈y,y〉>0.
Consequently,
〈x,x〉〈y,y〉〈x,y〉〈x,y¯〉>0.〈x,x〉〈y,y〉〈x,y〉〈x,y¯〉>0.
Thus, it can be concluded that 〈x,y〉2<〈x,x〉〈y,y〉〈x,y〉2<〈x,x〉〈y,y〉 if y≠axy≠ax for all a∈Fa∈F.
Therefore, the inequality

〈
x
,
y
〉

2
≤
〈
x
,
x
〉
〈
y
,
y
〉

〈
x
,
y
〉

2
≤
〈
x
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
(11)holds for all x,y∈Vx,y∈V, and equality

〈
x
,
y
〉

2
=
〈
x
,
x
〉
〈
y
,
y
〉

〈
x
,
y
〉

2
=
〈
x
,
x
〉
〈
y
,
y
〉
(12)holds if and only if y=axy=ax for some a∈Fa∈F.
"My introduction to signal processing course at Rice University."