Campionamento I suoni e le immagini possono essere considerati segnali, rispettivamente a una e due dimensioni. Il suono si può pensare come una fluttuazione di pressione acustica nel tempo, mentre le immagini si possono pensare come distribuzioni nello spazio di valori di luminanza o di colore, quest'ultimo nelle sue componenti RGB o HSB. I segnali, per poter essere trattati da dispositivi numerici di calcolo, debbono essere ridotti a sequenze di campioni discreti, e ciascun campione deve essere rappresentato da un numero finito di bit. La prima operazione si chiama campionamento, mentre la seconda rappresenta una quantizzazione del dominio dei numeri reali.

1-D: Suoni Il campionamento, per i segnali mono-dimensionali è l'operazione che trasforma un segnale a tempo continuo (quale è ad esempio la fluttuazione di pressione atmosferica all'ingresso del nostro padiglione auricolare) in un segnale a tempo discreto, cioè in una sequenza di numeri. Esso restituisce i valori del segnale a tempo continuo letti a intervalli di T secondi. Il reciproco dell'intervallo di campionamento è detto frequenza di campionamento F s 1 T . In questa sede non esponiamo la teoria del campionamento ma cerchiamo solo di descriverne le manifestazioni. Per una trattazione più estesa, ma ancora accessibile, si rimanda a Introduction to Sound Processing. Per i nostri scopi, il campionamento di segnali 1-D può essere ridotto a tre fatti e un teorema. Fatto 1 La Trasformata di Fourier di un segnale a tempo discreto è una funzione (detta spettro) di variabile continua ω , periodica di periodo 2 π . Per un dato valore di ω , la trasformata di Fourier restituisce un numero complesso che si può interpretare come ampiezza e fase (traslazione nel tempo) della componente di segnale sinusoidale a tale frequenza. Fatto 2Il campionamento di un segnale a tempo continuo x t con intervallo T produce il segnale a tempo discreto x n x n T , funzione della variabile discreta n . Fatto 3 Il campionamento con frequenza F s di un segnale a tempo continuo produce un segnale a tempo discreto il cui spettro è la ripetizione periodica con periodo F s dello spettro del segnale originale. La variabile di Fourier ω corrisponde alla frequenza in Hertz (o cicli al secondo) rappresentata dalla variabile f ω 2 π T . La mostra un esempio di spettro di segnale campionato con frequenza F s . Nell'esempio, il segnale a tempo continuo aveva tutte e sole le componenti in frequenza comprese tra F b e F b . Le repliche dello spettro originale sono a volte chiamate immagini.

Spettro di un segnale campionato Premessi i fatti, si può avere una comprensione intuitiva del Teorema del Campionamento, storicamente legato ai nomi degli scienziati Nyquist e Shannon. Teorema del Campionamento Un segnale a tempo continuo x t , il cui contenuto spettrale è limitato a frequenze inferiori a F b (cioè limitato in banda a F b ) si può ricostruire a partire dalla sua versione campionata x n se la frequenza di campionamento è superiore a due volte la banda (cioè se F s 2 F b ) La ricostruzione non può che avvenire mediante un filtro che elimini le immagini spettrali diverse da quella direttamente proveniente dal segnale a tempo continuo originale, cioè le immagini le cui componenti in frequenza siano in valore assoluto superiori alla frequenza di Nyquist definita come F s 2 . La condizione imposta dal teorema del campionamento equivale a richiedere che non ci siano sovrapposizioni tra le immagini spettrali. Se sovrapposizioni ci fossero, non sarebbe possibile realizzare un filtro atto a eliminare le copie dello spettro del segnale originale. Un filtro che tagliasse tutte le frequenze superiori alla frequenza di Nyquist produrrebbe un segnale che, rispetto al segnale originale, risulta affetto da aliasing. Il concetto di aliasing è ben illustrato nella Aliasing Applet, dove una sinusoide a tempo continuo è soggetta a campionamento. Se la frequenza della sinusoide è troppo alta rispetto alla frequenza di campionamento, si vede che che la sinusoide ricostruita a partire dai campioni è ben diversa, e di frequenza bassa. Abbiamo tutti familiarità con l'aliasing per come esso si manifesta nelle immagini in movimento, ad esempio quando le ruote della diligenza nei film western sembrano girare al contrario. In quel caso la frequenza di campionamento è il frame rate, o numero di immagini al secondo, e va messa in relazione alla velocità di rotazione delle ruote. Questo si inquadra tra i fenomeni stroboscopici . Nel caso del suono, per rendersi conto di quali siano le conseguenze del fatto che lo spettro di un segnale discreto sia periodico di periodo 2 π (vedi ) e di cosa avvenga nel caso di violazione del teorema del campionamento, esaminiamo un caso semplice. Consideriamo un suono generato da una somma di sinusoidi in rapporto armonico tra loro (ovvero, le cui frequenze sono multiple intere della frequenza più bassa, detta fondamentale). Lo spettro del suono così ottenuto sarà costituito da picchi in corrispondenza della frequenza fondamentale e dei suoi multipli interi. Tanto per fissare le idee, poniamo di lavorare ad una frequenza di campionamento di 44100 Hz e di voler sommare 10 sinusoidi. Dal teorema di campionamento sappiamo che, nel nostro caso, potremmo rappresentare correttamente (senza incorrere nel fenomeno dell'aliasing) tutte le frequenze fino a 22050 Hz. Quindi, onde evitare l'aliasing, la fondamentale del suono sintetico prodotto dovrà essere inferiore o uguale a 2205 Hz. Il codice Processing (+ Sonia) riportato nella tabella realizza un generatore di suoni costituiti da 10 sinusoidi in rapporto armonico tra loro. Per produrre i suoni è sufficiente cliccare con il mouse in un punto qualsiasi della schermata. L'ascissa del punto corrisponderà alla frequenza della fondamentale e sulla schermata compariranno i picchi spettrali corrispondenti alle sinusoidi generate e sommate. Quando clicchiamo su di un punto approssimativamente di ascissa maggiore di 1/10 della larghezza della finestra, continuiamo a vedere dieci picchi spettrali. Abbiamo violato il teorema del campionamento e l'aliasing ha fatto capolino nella nostra rappresentazione. Aliasing test: Applet che permette di verificare l'effetto dell'aliasing su suoni ottenuti mediante somma di 10 sinusoidi con frequenze in rapporto armonico

2-D: Immagini Supponiamo di avere una distribuzione continua, su un piano, di valori di luminanza cioè, più semplicemente, una immagine. Per poterla trattare con un calcolatore dobbiamo ridurla ad una sequenza di numeri, mediante campionamento. Ci sono molti modi per campionare una immagine, cioè per leggerne i valori di luminanza in punti discreti. Il più semplice dei modi è la lettura dei valori secondo una griglia regolare, con maglie di larghezza X e Y . In modo analogo a quanto fatto per i suoni, si definiscono le frequenza spaziali di campionamento F X 1 X e F Y 1 Y . Come nel caso monodimensionale, anche per i segnali bidimensionali, o immagini, il campionamento può essere descritto mediante tre fatti e un teorema. Fatto 1 La Trasformata di Fourier di un segnale a spazio discreto è una funzione (detta spettro) di due variabili continue ω X e ω Y , periodica in due dimensioni con periodi 2 π . Per una data coppia di valori ω X e ω Y , la trasformata di Fourier restituisce un numero complesso che si può interpretare come ampiezza e fase (traslazione nello spazio) della componente di segnale sinusoidale a tali frequenze spaziali. Fatto 2Il campionamento di un segnale a spazio continuo s x y con griglia di maglia X , Y , produce il segnale a spazio discreto s m n s m X n Y , funzione delle variabili discrete m e n . Fatto 3 Il campionamento con frequenze spaziali F X e F Y di un segnale a spazio continuo produce un segnale a spazio discreto il cui spettro è la ripetizione periodica secondo la griglia di maglia F X per F Y dello spettro del segnale originale. Le variabili di Fourier ω X e ω Y corrispondono alle frequenze in cicli per metro rappresentate dalle variabili f X ω X 2 π X e f Y ω Y 2 π Y . La mostra un esempio di spettro di segnale bidimensionale campionato. Nell'esempio, il segnale a spazio continuo aveva tutte e sole le componenti in frequenza comprese nell'esagono centrato sullo zero. La forma esagonale del supporto spettrale (regione con energia spettrale non nulla) è meramente esemplificativa. Le repliche dello spettro originale sono a volte chiamate immagini spettrali.

Spettro di una immagine campionata Premessi i fatti, si può avere una comprensione intuitiva del Teorema del Campionamento. Teorema del Campionamento (in 2D) Un segnale a spazio continuo s x y , il cui contenuto spettrale è limitato a frequenze spaziali contenute nel rettangolo di semilati F bX e F bY (cioè limitato in banda) si può ricostruire a partire dalla sua versione campionata s m n se le frequenze di campionamento spaziale sono superiori a due volte le rispettive bande (cioè se F X 2 F bX e F Y 2 F bY ) In pratica, la maglia di campionamento non può essere più larga di un semi-periodo della più fine frequenza spaziale (cioè del più fine dettaglio) che è rappresentato nell'immagine. La ricostruzione non può che avvenire mediante un filtro che elimini le immagini spettrali diverse da quella direttamente proveniente dal segnale a spazio continuo originale, cioè le immagini le cui componenti in frequenza siano in valore assoluto superiori alla frequenza di Nyquist definita come F X 2 e F Y 2 lungo le due direzioni. La condizione imposta dal teorema del campionamento equivale a richiedere che non ci siano sovrapposizioni tra le immagini spettrali. Se sovrapposizioni ci fossero, non sarebbe possibile realizzare un filtro atto a eliminare le copie dello spettro del segnale originale. Un filtro che tagliasse tutte le frequenze superiori alla frequenza di Nyquist produrrebbe un segnale che, rispetto al segnale originale, risulta affetto da aliasing. Si fa notare come si possa produrre aliasing per sotto-campionamento (o decimazione) di una immagine campionata. Cioè, a partire da una immagine a spazio discreto, utilizzare solo una parte dei campioni selezionati secondo una griglia regolare corrisponde a creare ripetizioni periodiche delle immagini spettrali, che quindi possono finire con il sovrapporsi. Per esplorare in maniera visuale i concetti di campionamento, sotto-campionamento, e aliasing, si consideri la applet che disegna ellissi . Con le frecce si possono raddoppiare o dimezzare i passi di sotto-campionamento orizzontale e verticale.

Una semplicissima introduzione a concetti elementari di elaborazione di immagini si trova in Digital Image Processing Basics.