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    By: ConnexionsAs a part of collection:"Señales y Sistemas"

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    "Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"

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Función de Impulso

Module by: Melissa Selik, Richard Baraniuk Translated By Fara Meza, Erika JacksonBased on: The Impulse Function by Melissa Selik, Richard Baraniuk

Summary: Explica el uso de la función de impulso unitario.

Note: Your browser may not currently support MathML. See our browser support page for additional details. You can always view the correct math in the PDF version.

En ingeniería usualmente se maneja la idea de una acción ocurriendo a un determinado punto. Puede ser una fuerza en ese punto o una señal en un punto del tiempo, se convierte necesario desarrollar alguna manera cuantitativa de definir este hecho. Esto nos lleva a la idea de un pulso unitario. Es probablemente la segunda señal más importante en el estudio de señales y sistemas después del Exponencial Complejo.

Función Delta de Dirac

La Función Delta de Dirac, conocida también como el impulso unitario o función delta es una función infinítamente angosta, infinítamente alta, cuya integral tiene un valor unitario (Ver ecuación 1 abajo). Tal vez la manera mas simple de visualizar esto es usar un pulso rectangular que va de a−ε2 a ε 2 a a+ε2 a ε 2 con una altura de 1ε 1 ε . Al momento de tomar su límite, limε→00 ε 0 , podemos observar que su ancho tiende a ser cero y su altura tiende a infinito conforme su área total permanece constante con un valor de uno. La función del impulso usualmente se escribe como δt δt .

∫-∞∞δtdt= 1 t δ t 1 (1)
Figura 1: Esta es una manera de visualizar la Función Delta de Dirac.
Figura 1 (impulsefunc1.png)
Figura 2: Por que es difícil dibujar algo que es infinitamente alto, nosotros representamos la Delta de Dirac con una flecha centrada en el punto donde es aplicada. Si queremos escalarla, podemos escribir el valor de escalamiento a un lado de la flecha. Este es un muestreo unitario ( no tiene escala).
Figura 2 (impulsefunc2.png)

La propiedad de desplazamiento del impulso

El primer paso para comprender los resultados que esta función nos brinda, es examinar lo que sucede cuando esta función es multiplicada por alguna otra función.

ftδt=f0δt f t δ t f 0 δ t (2)
Esta función es cero en todas partes excepto en el origen, así que básicamente estamos eliminando el valor de la función de multiplicación al evaluarla en cero.

A primera vista esto no parece tener mayor importancia, porque ya sabemos que el impulso evaluado en cero es infinito, y todo lo multiplicado por infinito da un resultado infinito. Pero, ¿qué pasa si integramos el resultado de la multiplicación?

Propiedad de Desplazamiento

∫-∞∞ftδtdt=∫-∞∞f0δtdt=f0∫-∞∞δtdt=f0 t f t δ t t f 0 δ t f 0 t δ t f 0 (3)
Finalmente lo que obtuvimos es una simple función evaluada en cero. Si hubiéramos usado δt−T δ t T en vez de δt δ t , podríamos haber desplazado fT f T . A esto es lo que llamaremos la propiedad de desplazamiento de la función de Dirac, el cual se usa frecuentemente para definir el impulso unitario.

Esta propiedad es muy útil al momento de desarrollar la idea de convolución la cual es una de los fundamentos principales para el procesamiento de señales. Al usar convolución y esta propiedad podemos representar una aproximación a cualquier resultado de un sistema si se conoce la respuesta al impulso del sistema y su señal de entrada. De clic en el link de convolución que aparece arriba para mas información sobre este tema.

Otras Propiedades del Impulso

En esta sección se muestran algunas otras propiedades de el impulso sin entrar en los detalles de probar las propiedades- esta parte la dejaremos para que usted verifique las propiedades ya que son sencillas de comprobar. Note que estas propiedades funcionan para el tiempo continuo y discreto.

Propiedades de Impulso Unitario

  • δαt=1|α|δt δ α t 1 α δ t
  • δt=δ-t δ t δ t
  • δt=ddtut δ t t u t , donde ut u t es el escalón unitario.

Impulso de tiempo-discreto (muestreo unitario)

La extensión de la función impulso unitario al tiempo-discreto se convierte en una trivialidad. Todo lo que realmente necesitamos es darnos cuenta que la integración en tiempo-continuo equivale a una sumatoria en tiempo-discreto. Por lo tanto buscaremos una señal que al sumarla sea cero y al mismo tiempo sea cero en todas partes excepto en el origen.

Impulso de Tiempo-Discreto

δn=1ifn=00otherwise δ n 1 n 0 0 (4)

Figura 3: Representación gráfica del impulso discreto
Figura 3 (impulsefunc3.png)

Al analizar una gráfica de tiempo-discreto de cualquier señal discreta, uno puede notar que todas las señales discretas están compuestas de un conjunto de muestras unitarias que están escalados y desplazados en el tiempo. Si dejamos que el valor de una secuencia en cada entero k k sea descrita por sk sk y la muestra unitaria retrasado que ocurre en k k sea escrito como δn−k δ nk , nosotros podríamos escribir cualquier señal como la suma de impulsos unitarios retrasados que son escalados por un valor de la señal, o por coeficientes de escalamiento.

sn=∑k=-∞∞skδn−k sn k sk δ nk (5)
Esta descomposición es una propiedad que solo se aplica a señales de tiempo-discreto y resulta ser una propiedad muy útil para estas señales.

note:

Usando el razonamiento anterior, nosotros hemos desarrollado la ecuaciónecuación 5, la cual es un concepto fundamental usado en la convolución de tiempo-discreto.

La Respuesta de Impulso

La respuesta de impulso es exactamente lo que su nombre implica- la respuesta de un sistema LTI, como por ejemplo un filtro, cuando la señal de entrada del sistema es un impulso unitario (o muestra unitaria). Un sistema puede ser completamente descrito por su respuesta al impulso por las razones explicadas previamente, ya que todas las señales pueden ser representadas por una superposición de señales. Una respuesta al impulso da una descripción equivalente a la dada por una función de transferencia, ya que existen Transformadas de Laplace para cada una.

notation:

Casi toda la literatura usa δtδt y δnδn para diferenciar entre un impulso de tiempo-continuo y un impulso de tiempo-discreto.

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