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El Exponencial Complejo

Module by: Richard Baraniuk. E-mail the authorTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: The Complex Exponential by Richard Baraniuk

Summary: Describe la función del exponencial complejo.

Bases para el Exponencial

El exponencial complejo es una de las señales mas importantes y fundamentales en el análisis de señales y sistemas. Su importancia proviene de que sus funciones sirven como una base para las señales periódicas, como también sirven para poder caracterizar señales lineales de tiempo invariante . Antes de continuar, usted debería familiarizarse con los números complejos.

Exponential Básico

Para todos los números xx, nosotros podemos derivar y definir fácilmente una función exponencial de una serie de Taylor mostrada aquí:

ex=1+x11!+x22!+x33!+… x 1 x 1 1 x 2 2 x 3 3 …
(1)
ex=∑ k =0∞1k!⁢xk x k 0 1 k x k
(2)
Podemos probar, usando un examen racional, que esta serie converge. De esta manera, podemos decir que la función exponencial mostrada arriba es continua y se puede definir fácilmente.

De esta definición, podemos probar la siguiente propiedad de las exponenciales que resulta ser muy útil, especialmente para los exponenciales que se discutirán en la siguiente sección.

e x 1 + x 2 =e x 1 ⁢e x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
(3)

Exponencial Complejo de Tiempo-Continuo

Para todos los números complejos s s, podemos definir una señal exponencial compleja de tiempo-continuo como:

f⁢t=A⁢es⁢t=A⁢ei⁢ω⁢t ft A s t A ω t
(4)
donde AA es una constante, tt es la variable independiente tiempo, y para ss imaginaria, s=i⁢ω s ω . De esta ecuación podemos revelar una importante identidad, la identidad de Euler (para más información sobre Euler lea su biografía short biography):
A⁢ei⁢ω⁢t=A⁢cosω⁢t+i⁢(A⁢sinω⁢t) A ω t A ω t A ω t
(5)
De la identidad de Euler podemos separar la señal en su parte imaginaria y en su parte real. También podemos observar el uso de exponenciales para representar cualquier señal real. Si modificamos la frecuencia y el ángulo, podriamos representar cualquier señal por medio de una superposición de muchas señales—todas deben ser representadas por un exponencial.

La expresión anterior no incluye ninguna información del ángulo. Debemos generalizar la expresión de exponenciales para generalizar funciones senosoidales con cualquier valor en el ángulo, esto se logra al hacer una sustitución de ss, s=σ+i⁢ω s σ ω , que al final nos lleva a

f⁢t=A⁢es⁢t=A⁢e(σ+i⁢ω)⁢t=A⁢eσ⁢t⁢ei⁢ω⁢t f t A s t A σ ω t A σ t ω t
(6)
donde SS se define como la amplitud compleja, o fasor, de los primeros dos términos de la ecuación de arriba
S=A⁢eσ⁢t S A σ t
(7)
Tomando en cuenta la identidad de Euler, podemos escribir el exponencial como un senosoidal, donde el término del ángulo es mas notable.
f⁢t=A⁢eσ⁢t⁢(cosω⁢t+i⁢sinω⁢t) f t A σ t ω t ω t
(8)
Esta fórmula se puede descomponer en su parte real e imaginaria:
ℜ⁢f⁢t=A⁢eσ⁢t⁢cosω⁢t f t A σ t ω t
(9)
ℑ⁢f⁢t=A⁢eσ⁢t⁢sinω⁢t f t A σ t ω t
(10)

Exponencial Complejo en Tiempo-Discreto

Finalmente, hemos llegado a la última forma de señales exponenciales que nos interesan estudiar, la señal exponencial compleja en tiempo-discreto, de la cual no daremos tantos detalles como lo hicimos para su contraparte, ya que las dos siguen las mismas propiedades y usan la misma lógica ya explicada previamente. Por ser discreta, tiene una diferencia en la notación usada para representar su naturaleza discreta

f⁢n=B⁢es⁢n⁢T=B⁢ei⁢ω⁢n⁢T fn B s n T B ω n T
(11)
donde n⁢T n T representa los instantes de tiempo-discreto de la señal.

La Relación de Euler

Junto a la identidad de Euler, Euler también describe una manera de representar una señal exponencial compleja en términos de su parte real e imaginaria usando la siguiente relación:

cosω⁢t=ei⁢w⁢t+e−(i⁢w⁢t)2 ω t w t w t 2
(12)
sinω⁢t=ei⁢w⁢t−e−(i⁢w⁢t)2⁢i ω t w t w t 2
(13)
ei⁢w⁢t=cosω⁢t+i⁢sinω⁢t w t ω t ω t
(14)

Dibujando el Exponencial Complejo

Hasta este momento, nosotros hemos demostrado como un exponencial complejo se puede separar en su parte real e imaginaria. Ahora tenemos que ver como se grafican todas estas partes. Podemos observar que la parte real y la parte imaginaria están compuestas por un senosoidal multiplicado por una función de exponencial real. También sabemos que los senosoidales oscilan entre el valor uno y negativo uno. Entonces se puede ver que las partes reales e imaginarias del exponencial complejo oscilarán dentro de una ventana definida por la parte real del exponencial.

Figura 1: Las formas posibles para la parte real de un exponencial complejo. Note que la oscilación es el resultado de un coseno con un máximo local en t=0 t 0 .
(a) Si σσ es negativa, tenemos el caso de una ventana de un exponencial que desciende. (b) Si σσ es positivo, tenemos el caso de una ventana de un exponencial que crece.(c) Si σσ es cero, tenemos una ventana constante.
Figura 1(a) (compexp1.png)Figura 1(b) (compexp2.png)Figura 1(c) (compexp3.png)

Mientras el σσ determina el índice de decrecimiento/ crecimiento, ωω determina el índice de las oscilaciones. Esto se puede notar al observar que ωω es parte del argumento usado en la parte que corresponde al senosoidal.

Exercise 1

¿Cómo se ven las partes imaginarias del exponencial complejo en el dibujo previo?

Solution

Se ve igual excepto que la oscilación es senosoidal y no cosenoidal (pasa por el origen y no tiene ningún máximo local en t=0 t 0 ).

Ejemplo 1

La siguiente demostración le permite ver como el argumento cambia la forma del exponencial complejo. Por favor oprima aquí para ver las instrucciones de como se usa este demo.

LabVIEW Example: (run) (source)

El Plano Complejo

Se convierte de extrema importancia el ver la variable compleja ss como un punto en el plano complejo (el plano-s).

Figura 2: Este es el plano-s. Note que en cualquier momento en que ss se encuentre en el lado derecho del plano, el exponencial complejo crecerá con el tiempo, mientras que si por el contrario ss se encuentra en el lado izquierdo, el exponencial complejo disminuirá.
Figura 2 (compexp04.png)

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