Sistemas Lineales

Si un sistema es lineal, quiere decir que cuando la entrada de un sistema dado es escaldado por un valor, la salida del sistema es escalado por la misma cantidad.

Figura 1

Escalado Lineal
Subfigure 1.1 Subfigure 1.2

En la Subfigure 1.1 de arriba, la entrada xx del sistema lineal LL da la salida yy. Si xx es escalada por un valor αα y es pasada a través del mismo sistema, como en la Subfigure 1.2, la salida también será escalada por αα.

Un sistema lineal también obedece el principio de superposición. Esto significa que si dos entradas son sumadas juntas y pasadas a través del sistema lineal, la salida será equivalente a la suma de las dos entradas evaluadas individualmente.

Figura 2

Subfigure 2.1 Subfigure 2.2

Figura 3: Si figura 2 es cierto, entonces el principio de superposicción dice que figura 3 también es cierto. Esto es válido para un sistema lineal.

Principio de Superposición

Esto es, si figura 2 es cierta, entonces figura 3 también es cierta para un sistema lineal. La propiedad de escalado mencionada anteriormente también es válida para el principio de superposición. Por lo tanto, si las entradas x y y son escaladas por factores α y β, respectivamente, entonces la suma de estas entradas escaladas dará la suma de las salidas escaladas individualmente.

Figura 4

Subfigure 4.1 Subfigure 4.2

Figura 5: Dado figura 4 para un sistema lineal, figura 5 también es válido.

Principio de Superposición con Escaldo Lineal

Time-Invariant Systems

Un sistema invariante en el tiempo TI (Time-Invariant) tiene la propiedad de que cierta entrada siempre dará la misma salida, sin consideración alguna a cuando la entrada fue aplicada al sistema.

Figura 6: Subfigure 6.1 muestra una entrada en tiempo tt mientras que Subfigure 6.2 muestra la misma entrada t0t0 segundos después. En un sitema invariante en el tiempo ambas salidas serán identicas excepto la de la Subfigure 6.2 estará retrasada por t0t0.

Sistema Invariante en el Tiempo
Subfigure 6.1 Subfigure 6.2

En esta figura, xtxt y xt-t0 xtt0 son pasadas a través del sistema TI. Ya que el sistema TI es invariante en el tiempo, las entradas xtxt y xt-t0 xtt0 producen la misma salida. La única diferencia es que la salida debida a xt-t0 xtt0 es cambiada por el tiempo t0t0.

Si un sistema es invariante en el tiempo o de tiempo variado puede ser visto en la ecuación diferencial (o ecuación en diferencia) descrita. Los sistemas invariantes en el tiempo son modelados con ecuaciones de coeficientes constantes. Una ecuación diferencial(o en diferencia) de coeficientes constantes significa que los parámetros del sistema no van cambiando a través del tiempo y que la entrada nos dará el mismo resultado ahora, así como después.

3 Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI)

A los sistemas que son lineales y al mismo tiempo invariantes en el tiempo nos referiremos a ellos como sistemas LTI (Linear Time-Invariant).

Figura 7: Esto es una combinación de los dos casos de arriba. Dado que la entrada Subfigure 7.2 es una versión escalada y desplazada en el tiempo de la entrada de Subfigure 7.1, también es la salida.

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo
Subfigure 7.1 Subfigure 7.2

Como los sistemas LTI son subconjuntos de los sistemas lineales, estos obedecen al principio de superposición. En la figura de abajo, podemos ver el efecto de aplicar el tiempo invariante a la definición de sistema lineal de la sección anterior.

Figura 8

Subfigure 8.1 Subfigure 8.2

Figura 9: El principio de superposición aplicadado a un sistema LTI

Superposición en Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

Sistemas LTI en Series

Si dos o mas sistemas están en serie uno con otro, el orden puede ser intercambiado sin que se vea afectada la salida del sistema. Los sistemas en series también son llamados como sistemas en cascada.

Figura 10: El orden de los sistemas LTI en cascada pueden ser intercambiado sin verse afectado el resultado.

Sistema LTI en Cascada
Subfigure 10.1 Subfigure 10.2

Sistemas LTI en Paralelo

Si dos o mas sistemas LTI están en paralelo con otro, un sistema equivalente es aquel que esta definido como la suma de estos sistemas individuales.

Figura 11: Los sistemas de paralelo pueden ser resumidos en la suma de los sistemas.

Sistemas LTI en Paralelo
Subfigure 11.1 Subfigure 11.2

Causalidad

Un sistema es causal si este no depende de valores futuros de las entradas para determinar la salida. Lo que significa que si la primer entrada es recibida en tiempo t0t0, el sistema no deberá dar ninguna salida hasta ese tiempo. Un ejemplo de un sistema no-causal puede ser aquel que al “detectar” que viene un entrada da la salida antes de que la entrada llegue.

Figura 12: En este sistema no-causal, la salida es producida dado a una entradad que ocurrió después en el tiempo.

Sistema no-Causal

Un sistema causal también se caracteriza por una respuesta al impulso htht que es cero para t<0t0.