Propiedades de la Convolución 1.1 2005/06/08 17:58:48 GMT-5 2005/06/20 21:59:04 GMT-5 Melissa Selik mselik@alumni.rice.edu Richard G. Baraniuk richb@rice.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu convolution property signals systems Ejemplos y definiciones de varias propiedades asociadas con la convolución son descritas. En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad Ley Asociativa f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t

Implicación gráfica de la propiedad de asociatividad de la convolución.

Conmutatividad : Ley Conmutativa y t f t h t h t f t Para probar la , lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma), y t τ f τ h t τ Dejando τ t τ , podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa: y t τ f t τ h τ τ h τ f t τ f t h t h t f t

La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.

Distribución Ley Distributiva f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Desplazamiento en el Tiempo Propiedad de Desplazamiento Para c t f t h t , entonces c t T f t T h t y c t T f t h t T

Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento.

Convolución con un Impulso Convolución con Impulso Unitario f t δ t f t Para este demostración, dejaremos que δt sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución f t δ t τ δ τ f t τ De la definición del impulso unitario, conocemos que δτ 0 siempre que τ 0 . Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente: f t δ t τ δ τ f t f t τ δ τ La integral de δτ solo tendrá un valor cuando τ0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema: f t δ t f t

Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.

Ancho En tiempo continuo, si la Duración f 1 T 1 y la Duración f 2 T 2 , entonces Duración f1 f2 T 1 T 2

En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.

En tiempo discreto si la Duración f 1 N 1 y la Duración f 2 N 2 , entonces Duración f1 f2 N 1 N 2 1

Causalidad Si f y h son ambas causales, entonces f h también es causal.