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    By: ConnexionsAs a part of collection:"Señales y Sistemas"

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    "Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"

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Propiedades de la Convolución

Module by: Melissa Selik, Richard Baraniuk Translated By Fara Meza, Erika JacksonBased on: Properties of Convolution by Melissa Selik, Richard Baraniuk

Summary: Ejemplos y definiciones de varias propiedades asociadas con la convolución son descritas.

Note: Your browser may not currently support MathML. See our browser support page for additional details. You can always view the correct math in the PDF version.

En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad

Theorem 1: Ley Asociativa

f1t*f2t*f3t=f1t*f2t*f3t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t (1)

Figura 1: Implicación gráfica de la propiedad de asociatividad de la convolución.
Figura 1 (convassocs.png)

Conmutatividad

Theorem 2: : Ley Conmutativa

yt=ft*ht=ht*ft y t f t h t h t f t (2)

Proof

Para probar la ecuación 2, lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma),

yt=∫-∞∞fτht−τdτ y t τ f τ h t τ (3)
Dejando τ=t−τ τ t τ , podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:
yt=∫-∞∞ft−τhτdτ=∫-∞∞hτft−τdτ y t τ f t τ h τ τ h τ f t τ (4)
ft*ht=ht*ft f t h t h t f t (5)

Figura 2: La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.
Figura 2 (convcomms.png)

Distribución

Theorem 3: Ley Distributiva

f1t*f2t+f3t=f1t*f2t+f1t*f3t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t (6)

Proof

La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Figura 3
Figura 3 (convdists.png)

Desplazamiento en el Tiempo

Theorem 4: Propiedad de Desplazamiento

Para ct=ft*ht c t f t h t , entonces

ct−T=ft−T*ht c t T f t T h t (7)
y
ct−T=ft*ht−T c t T f t h t T (8)

Figura 4: Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento.
(a)
Figura 4(a) (convts1.png)
(b)
Figura 4(b) (convts2.png)
(c)
Figura 4(c) (convts3.png)

Convolución con un Impulso

Theorem 5: Convolución con Impulso Unitario

ft*δt=ft f t δ t f t (9)

Proof

Para este demostración, dejaremos que δt δt sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución

ft*δt=∫-∞∞δτft−τdτ f t δ t τ δ τ f t τ (10)
De la definición del impulso unitario, conocemos que δτ=0 δτ 0 siempre que τ≠0 τ 0 . Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:
ft*δt=∫-∞∞δτftdτ=ft∫-∞∞δτdτ f t δ t τ δ τ f t f t τ δ τ (11)
La integral de δτ δτ solo tendrá un valor cuando τ=0 τ0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:
ft*δt=ft f t δ t f t (12)

Figura 5: Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.
(a)
Figura 5(a) (convimp1.png)
(b)
Figura 5(b) (convimp2.png)

Ancho

En tiempo continuo, si la Duración f 1 = T 1 Duración f 1 T 1 y la Duración f 2 = T 2 f 2 T 2 , entonces

Duraciónf1*f2= T 1 + T 2 Duración f1 f2 T 1 T 2 (13)

Figura 6: En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.
(a)
Figura 6(a) (convwidth1png)
(b)
Figura 6(b) (convwidth2png)
(c)
Figura 6(c) (convwidth3png)

En tiempo discreto si la Duración f 1 = N 1 f 1 N 1 y la Duración f 2 = N 2 f 2 N 2 , entonces

Duraciónf1*f2= N 1 + N 2 −1 Duración f1 f2 N 1 N 2 1 (14)

Causalidad

Si ff y hh son ambas causales, entonces f*h f h también es causal.

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