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Propiedades de la Convolución

Module by: Melissa Selik, Richard Baraniuk. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Properties of Convolution by Melissa Selik, Richard Baraniuk

Summary: Ejemplos y definiciones de varias propiedades asociadas con la convolución son descritas.

En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad

Theorem 1: Ley Asociativa

f1t*f2t*f3t=f1t*f2t*f3t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
(1)

Figura 1: Implicación gráfica de la propiedad de asociatividad de la convolución.
Figura 1 (convassocs.png)

Conmutatividad

Theorem 2: : Ley Conmutativa

yt=ft*ht=ht*ft y t f t h t h t f t
(2)

Proof

Para probar la ecuación 2, lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma),

yt=fτhtτd τ y t τ f τ h t τ
(3)
Dejando τ=tτ τ t τ , podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:
yt=ftτhτd τ =hτftτd τ y t τ f t τ h τ τ h τ f t τ
(4)
ft*ht=ht*ft f t h t h t f t
(5)

Figura 2: La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.
Figura 2 (convcomms.png)

Distribución

Theorem 3: Ley Distributiva

f1t*f2t+f3t=f1t*f2t+f1t*f3t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t
(6)

Proof

La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Figura 3
Figura 3 (convdists.png)

Desplazamiento en el Tiempo

Theorem 4: Propiedad de Desplazamiento

Para ct=ft*ht c t f t h t , entonces

ctT=ftT*ht c t T f t T h t
(7)
y
ctT=ft*htT c t T f t h t T
(8)

Figura 4: Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento.
(a)
Figura 4(a) (convts1.png)
(b)
Figura 4(b) (convts2.png)
(c)
Figura 4(c) (convts3.png)

Convolución con un Impulso

Theorem 5: Convolución con Impulso Unitario

ft*δt=ft f t δ t f t
(9)

Proof

Para este demostración, dejaremos que δt δt sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución

ft*δt=δτftτd τ f t δ t τ δ τ f t τ
(10)
De la definición del impulso unitario, conocemos que δτ=0 δτ 0 siempre que τ0 τ 0 . Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:
ft*δt=δτftd τ =ftδτd τ f t δ t τ δ τ f t f t τ δ τ
(11)
La integral de δτ δτ solo tendrá un valor cuando τ=0 τ0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:
ft*δt=ft f t δ t f t
(12)

Figura 5: Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.
(a)
Figura 5(a) (convimp1.png)
(b)
Figura 5(b) (convimp2.png)

Ancho

En tiempo continuo, si la Duración f 1 = T 1 Duración f 1 T 1 y la Duración f 2 = T 2 f 2 T 2 , entonces

Duraciónf1*f2= T 1 + T 2 Duración f1 f2 T 1 T 2
(13)

Figura 6: En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.
(a)
Figura 6(a) (convwidth1png)
(b)
Figura 6(b) (convwidth2png)
(c)
Figura 6(c) (convwidth3png)

En tiempo discreto si la Duración f 1 = N 1 f 1 N 1 y la Duración f 2 = N 2 f 2 N 2 , entonces

Duraciónf1*f2= N 1 + N 2 1 Duración f1 f2 N 1 N 2 1
(14)

Causalidad

Si ff y hh son ambas causales, entonces f*h f h también es causal.

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