Propiedades de la Convolución

Module by: Melissa Selik, Richard Baraniuk Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Properties of Convolution por Melissa Selik, Richard Baraniuk

Summary: Ejemplos y definiciones de varias propiedades asociadas con la convolución son descritas.

En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad

theorem 1: Ley Asociativa

f1t*f2t*f3t=f1t*f2t*f3t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t (1)

Figura 1: Implicación gráfica de la propiedad de asociatividad de la convolución.

Conmutatividad

theorem 2: : Ley Conmutativa

yt=ft*ht=ht*ft y t f t h t h t f t (2)

Proof

Para probar la ecuación 2, lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma),

yt=∫-∞∞fτht-τdτ y t τ f τ h t τ (3)

Dejando τ=t-τ τ t τ , podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:

yt=∫-∞∞ft-τhτdτ=∫-∞∞hτft-τdτ y t τ f t τ h τ τ h τ f t τ (4)

ft*ht=ht*ft f t h t h t f t (5)

Figura 2: La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.

Distribución

theorem 3: Ley Distributiva

f1t*f2t+f3t=f1t*f2t+f1t*f3t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t (6)

Proof

La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Figura 3

Desplazamiento en el Tiempo

theorem 4: Propiedad de Desplazamiento

Para ct=ft*ht c t f t h t , entonces

ct-T=ft-T*ht c t T f t T h t (7)

y

ct-T=ft*ht-T c t T f t h t T (8)

Figura 4: Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento.

Subfigure 4.1 Subfigure 4.2 Subfigure 4.3

Convolución con un Impulso

theorem 5: Convolución con Impulso Unitario

ft*δt=ft f t δ t f t (9)

Proof

Para este demostración, dejaremos que δt δt sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución

ft*δt=∫-∞∞δτft-τdτ f t δ t τ δ τ f t τ (10)

De la definición del impulso unitario, conocemos que δτ=0 δτ 0 siempre que τ≠0 τ 0 . Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:

ft*δt=∫-∞∞δτftdτ=ft∫-∞∞δτdτ f t δ t τ δ τ f t f t τ δ τ (11)

La integral de δτ δτ solo tendrá un valor cuando τ=0 τ0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:

ft*δt=ft f t δ t f t (12)

Figura 5: Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.

Subfigure 5.1 Subfigure 5.2

Ancho

En tiempo continuo, si la Duración f 1 = T 1 Duración f 1 T 1 y la Duración f 2 = T 2 f 2 T 2 , entonces

Duraciónf1*f2= T 1 + T 2 Duración f1 f2 T 1 T 2 (13)

Figura 6: En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.

Subfigure 6.1 Subfigure 6.2 Subfigure 6.3

En tiempo discreto si la Duración f 1 = N 1 f 1 N 1 y la Duración f 2 = N 2 f 2 N 2 , entonces

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Last edited by Fara Meza on Aug 30, 2005 12:29 pm GMT-5.