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Propiedades de la Convolución

Module by: Melissa Selik, Richard Baraniuk. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Properties of Convolution by Melissa Selik, Richard Baraniuk

Summary: Ejemplos y definiciones de varias propiedades asociadas con la convolución son descritas.

En este modulo veremos varias de las propiedades de convolución que mas prevalecen. Nótese que estas propiedades se aplican a ambas convoluciones de tiempo continuo y de tiempo discreto . (Véase los dos módulos anteriores si necesita un repaso de convolución). También para algunas demostraciones de las propiedades, usaremos las integrales de tiempo-continuo, pero podemos probarlas de la misma manera usando las sumatorias de tiempo-discreto.

Asociatividad

Theorem 1: Ley Asociativa

f1⁢t*f2⁢t*f3⁢t=f1⁢t*f2⁢t*f3⁢t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
(1)

Figura 1: Implicación gráfica de la propiedad de asociatividad de la convolución.
Figura 1 (convassocs.png)

Conmutatividad

Theorem 2: : Ley Conmutativa

y⁢t=f⁢t*h⁢t=h⁢t*f⁢t y t f t h t h t f t
(2)

Proof

Para probar la ecuación 2, lo único que tenemos que hacer es un pequeño cambio de variable en nuestra integral de convolución (o suma),

y⁢t=∫−∞∞f⁢τ⁢h⁢t−τd τ y t τ f τ h t τ
(3)
Dejando τ=t−τ τ t τ , podemos mostrar fácilmente que la convolución es conmutativa:
y⁢t=∫−∞∞f⁢t−τ⁢h⁢τd τ =∫−∞∞h⁢τ⁢f⁢t−τd τ y t τ f t τ h τ τ h τ f t τ
(4)
f⁢t*h⁢t=h⁢t*f⁢t f t h t h t f t
(5)

Figura 2: La figura muestra que ambas funciones pueden ser vistas como entradas del sistema mientras lo otro es la respuesta al impulso.
Figura 2 (convcomms.png)

Distribución

Theorem 3: Ley Distributiva

f1⁢t*f2⁢t+f3⁢t=f1⁢t*f2⁢t+f1⁢t*f3⁢t f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f1 t f3 t
(6)

Proof

La demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.

Figura 3
Figura 3 (convdists.png)

Desplazamiento en el Tiempo

Theorem 4: Propiedad de Desplazamiento

Para c⁢t=f⁢t*h⁢t c t f t h t , entonces

c⁢t−T=f⁢t−T*h⁢t c t T f t T h t
(7)
y
c⁢t−T=f⁢t*h⁢t−T c t T f t h t T
(8)

Figura 4: Demostración Gráfica de la propiedad de desplazamiento.
(a)
Figura 4(a) (convts1.png)
(b)
Figura 4(b) (convts2.png)
(c)
Figura 4(c) (convts3.png)

Convolución con un Impulso

Theorem 5: Convolución con Impulso Unitario

f⁢t*δ⁢t=f⁢t f t δ t f t
(9)

Proof

Para este demostración, dejaremos que δ⁢t δt sea el impulso unitario localizado en el origen. Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución

f⁢t*δ⁢t=∫−∞∞δ⁢τ⁢f⁢t−τd τ f t δ t τ δ τ f t τ
(10)
De la definición del impulso unitario, conocemos que δ⁢τ=0 δτ 0 siempre que τ≠0 τ 0 . Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:
f⁢t*δ⁢t=∫−∞∞δ⁢τ⁢f⁢td τ =f⁢t⁢∫−∞∞δ⁢τd τ f t δ t τ δ τ f t f t τ δ τ
(11)
La integral de δ⁢τ δτ solo tendrá un valor cuando τ=0 τ0 (de la definición del impulso unitario), por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:
f⁢t*δ⁢t=f⁢t f t δ t f t
(12)

Figura 5: Las figuras y ecuaciones anteriores, revelan la función identidad del impulso unitario.
(a)
Figura 5(a) (convimp1.png)
(b)
Figura 5(b) (convimp2.png)

Ancho

En tiempo continuo, si la Duración⁢ f 1 = T 1 Duración f 1 T 1 y la Duración ⁢ f 2 = T 2 f 2 T 2 , entonces

Duración⁢f1*f2= T 1 + T 2 Duración f1 f2 T 1 T 2
(13)

Figura 6: En tiempo continuo, la duración de la convolución resulta igual a la suma de las longitudes de cada una de las dos señales convolucionadas.
(a)
Figura 6(a) (convwidth1png)
(b)
Figura 6(b) (convwidth2png)
(c)
Figura 6(c) (convwidth3png)

En tiempo discreto si la Duración ⁢ f 1 = N 1 f 1 N 1 y la Duración ⁢ f 2 = N 2 f 2 N 2 , entonces

Duración⁢f1*f2= N 1 + N 2 −1 Duración f1 f2 N 1 N 2 1
(14)

Causalidad

Si ff y hh son ambas causales, entonces f*h f h también es causal.

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