Una señal discreta s⁢n sn es retrasada por n0 n0 muestras, cuando se escribe s⁢n−n0 s n n0 , con n0>0 n0 0 . Optamos por que n0 n0 tenga avances negativos sobre los números enteros. Opuesto a los retrasos análogos, los retrasos discretos en el tiempo solo pueden tener el valor de números enteros. En el dominio de la frecuencia, el retraso de la señal corresponde a un desplazamiento linear en el ángulo de la señal discreta de la Transformada de Fourier s⁢n−n0↔e−(i⁢2⁢π⁢f⁢n0)⁢S⁢ei⁢2⁢π⁢f ↔ s n n0 2f n0 S 2f .

Un sistema lineal discreto tiene propiedades de superposición:

Si S⁢x⁢n=y⁢n S x n y n , entonces

Nosotros queremos concentrarnos en sistemas que son lineales e invariantes al desplazamiento. Esto será lo que nos permitirá tener todo el control en el análisis del dominio de la frecuencia y el control de su implementación. Por que no tenemos una conexión física en la “construcción”del sistema, necesitamos solamente tener especificaciones matemáticas. En los sistemas análogos, las ecuaciones diferenciales especifican la entrada y la salida del dominio del tiempo. La correspondiente especificación discreta esta dada en una ecuación diferencial:

Al contrario de una ecuación diferencial que solo provee una descripción implícita de un sistema (nosotros debemos resolver la ecuación diferencial), las ecuaciones diferenciales proveen una manera explicita de resolverlas; calculando las salidas para cada entrada. Nosotros simplemente expresaremos las ecuaciones diferenciales con un programa que calcula cada salida usando valores previos, las corrientes del sistema y las entradas previas.

Las ecuaciones diferenciales son usualmente expresadas en el software con iteraciones de "for" . El programa de MATLAB da información de los primeros 1000 valores formados por medio de las salidas.

      for n=1:1000
      y(n) = sum(a.*y(n-1:-1:n-p)) + sum(b.*x(n:-1:n-q));
      end
    

Un detalle importante emerge cuando nosotros consideramos hacer que este programa funcione; de hecho, como esta escrito tiene (por lo menos) dos errores. ¿Qué valores de entrada y salida se pueden usar para calcular y⁢1 y1 ? Nosotros necesitamos valores para y⁢0 y0 , y⁢-1 y-1 , ..., valores que no tenemos aun. Para calcular estos valores necesitaremos valores previos. La manera de salir de este problema es especificar las condiciones iniciales : debemos proveer p los valores de la salida que ocurren antes que las entradas iniciales. Estos valores pueden ser arbitrarios, la decisión impacta el como responde el sistema con las entradas. Una decisión ocasiona un sistema lineal: Hacer la condición inicial cero. La razón se encuentra en la definición de un sistema lineal : La única manera que las salidas de las suma pueda ser la suma de la salida individual ocurre cuando la condición inicial en cada caso es cero.

Ejemplo 1

Vamos a considerar un sistema simple con: p=1 p1 y q=0 q0.

y⁢n=a⁢y⁢n−1+b⁢x⁢n yn a y n1 b xn

(4)

Para calcular la salida de algún índice, esta ecuación diferencial indica que nosotros necesitamos la salida previa y⁢n−1 y n1 y que la señal de la entrada occura en ese momento del tiempo. Sin entrar a detalle, vamos a calcular la salida del sistema para un muestreo unitario como entrada: x⁢n=δ⁢n xn δn . Ya que la entrada es cero para un índice negativo, nosotros debemos empezar por tratar de calcular la salida en n=0 n 0 .

y⁢0=a⁢y⁢-1+b y0 a y -1 b

(5)

¿Cuál es el valor de y⁢−1 y 1 ? Ya que hemos usado la entrada de valor cero para todos los índices negativos, es razonable asumir que la salida también tiene un valor de cero. Seguramente, la ecuación diferencial no describirá el sistema lineal si la entrada, la cual es cero todo el tiempo no produjo cero en la salida. Con esto podemos asumir: y⁢-1=0 y -1 0 , dejando y⁢0=b y0 b . Para n>0 n 0 , la entrada de un muestrario unitario es cero, lo cual nos deja con la ecuación diferencial ∀n,n>0:y⁢n=a⁢y⁢n−1 n n0 yn a y n1 . Con esto nosotros podemos preveer como el filtro responde a esta entrada para hacer una tabla:

y⁢n=a⁢y⁢n−1+b⁢δ⁢n yn a y n1 b δ n

(6)

Tabla 1

nn	x⁢n x n	y⁢n y n
−11	00	00
00	11	bb
11	00	b⁢a ba
22	00	b⁢a2 b a2
:	00	:
nn	00	b⁢an b an

Los valores del coeficiente determinan el comportamiento de la salida. El parámetro bb puede ser cualquier valor, y sirve como ganancia. El efecto del parámetro aa es más complicado (tabla 1). Si es igual a cero, la salida simplemente es igual a la entrada por la ganancia bb. Para todos los valores que no son cero de aa, la salida perdura por siempre; tales sistemas son conocidos como IRR (Respuesta al Impulso Infinito). La razón para esta terminología es que el muestrario unitario también conocido como un impulso(especialmente en una situación analoga) y el sistema responden a un “impulso” que perdura por siempre. Si aa es positivo y menor que uno, la salida es una descomposición exponencial. Cuando a=1 a 1 , la salida es un escalón unitario. Si aa es negativa y más grande que −11, la salida oscila mientras occurre una descomposición exponencial. Cuando a=−1 a 1 , la salida cambia su signo para siempre, alternando entre bb y −bb. Hay efectos más dramáticos cuando |a|>1 a 1 ; si es positivo o negativo, la salida de la señal se hace más y más grande creciendo exponencialmente.

Figura 1: La entrada para el ejemplo de sistema simple, un muestreo unitario es mostrada arriba, con las salidas para varios valores de parametros de sistemas mostradas abajo.

Valores positivos de aa son usados en modelos de población para describir como el tamaño de una población crece a través del tiempo. Aquí, nn puede corresponder a generación. La ecuación diferencial indica que el número en la siguiente generación es algún múltiplo de un valor previo. Si este múltiplo es menor que uno, la población se extingue; si es mayor que uno, la población se incrementa. La misma ecuación diferencial también describe el efectos del los interes compuesto. Aquí nn marca el tiempo en el cual el interes compuesto ocurre ( diario, mensual, etc.), aa es igual a la taza de interés compuesto, y b=1 b1 ( el banco no da ninguna ganancia). En la aplicación para procesar señales, nosotros típicamente requerimos que la salida continué acotada para cualquier entrada. Para nuestro ejemplo, eso significa que podemos restrigir |a|=1 a 1 y escoger valores para esto y la ganancia según su aplicación.

Figura 2: La grafica muestra la respuesta de un muestreo unitario con un filtro boxcar de longitud 5.

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