Convolución es un valor que se extiende a todos los sistemas que son invariantes linear del tiempo (LTI - Linear Time Invariant). La idea de convolución discreta es la misma que la de convolución continua. Por esta razón, puede ser de gran ayuda el ver las dos versiones para que usted entienda la extrema importancia del concepto. Recuerde que la convolución es un instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema. Puede ser también útil al ver la convolución gráficamente con sus propios ojos y jugar con este concepto un poco, así que experimente con las aplicaciones que están disponibles en la Internet. Estos recursos ofrecerán métodos diferentes para aprender este concepto crucial.

Como ya ha sido mencionado, la suma de convolución provee una manera matemáticamante concisa para expresar el resultado de un sistema LTI, basado en una entrada arbitraria para una señal discreta y también el saber la respuesta del sistema. La suma de convolución es expresada como Así como en tiempo continuo la convolución es representado por el símbolo *, y puede ser escrita como Al hacer un simple cambio de variables en la suma de convolución, k=n-k k n k , podemos demostrar fácilmente que la convolución es conmutativa: Para mas información sobre las características de convolución, lea las propiedades de convolución.

Sabemos que las señales discretas pueden ser representadas por la suma de impulses discretos que están desplazados y escalados. Ya que estamos asumiendo que el sistema es linear e invariante con el tiempo, se ve razonable decir que la entrada de la señal esta formada por impulses que también están escalados y desplazados, esto en turno daría como resultado del sistema una suma de respuesta de impulse que también están escaladas y desplazadas. Esto es exactamente lo que ocurre en convolución. Abajo presentamos una manera matemática rigurosa de ver esta derivación:

Al dejar ℋℋ ser un sistema DT LTI, empezaremos con la siguiente ecuación y trabajaremos hasta llegar a la suma de convolucion ! Demos un vistazo rápido a los pasos tomados en la derivación anterior. Después de nuestra ecuación inicial, nosotros usamos la propiedad de desplazamientodel DT para re-escribir la función, xn x n , como una suma de funciones multiplicada por una suma unitaria. Después, movemos el operador ℋℋ y la sumatoria ℋ˙ ℋ ˙ es linear, en el sistema DT. Por esta linealidad y por el hecho que, xk x k es constante podemos extraer la constantes ya mencionadas y nada mas multiplicar la ecuación por ℋ˙ ℋ ˙ . Final mente , usamos el dato que ℋ˙ ℋ ˙ es invariante con el tiempo para llegar a nuestra ecuación deseada- la suma de convolucion !

Un ejemplo grafico puede ayudar en demostrar por que la convolución funciona

En esta sección desarrollaremos una interpretación grafica de la convolución discreta. Empezaremos por escribir la suma de convolución dejando x x ser causal, de tamaño -mm y h h ser causal, del tamaño-kk, en un sistema LTI. Esto nos da una sumatoria finita, Note que para cualquier n n tenemos la suma de productos de x l x l desplazados en el tiempo por h − l h − l . Esto es una manera de decir que multiplicamos los términos de x x por los términos reflexionados en el tiempo de h h y los sumamos después.

Regresamos a los ejemplos anteriores:

Los que estamos haciendo en la demostración de arriba es reflejar la respuesta del impulso en el tiempo y “ hacerlo caminar a través” de la entrada en la señal. Claramente, esto da el mismo resultado que escalar, desplazar, y sumar respuestas de impulsos.

Este método de reflexión en el tiempo, y de mover a través de la señal es una manera común de presentar la convolución, ya que demuestra como la convolución construye el resultado a través del eje del tiempo.