Transformación Discreta de Fourier 2.10 2005/06/09 13:33:58.064 GMT-5 2005/06/28 12:28:47.536 GMT-5 Phil Schniter schniter@ee.eng.ohio-state.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu DFT DTFT FFT Sinc Dirichlet Este modulo cubre los fundamentos de las Transformada Discreta de Fourier.

N-puinto Punto Transformada Discreta de Fourier (DFT) X k n 0 N 1 x n 2 n k n k k 0 … N 1 x n 1 N k 0 N 1 X k 2 n k n n n 0 … N 1 Note que: X k es la DTFT evaluado en ω 2 N k k k 0 … N 1 Completar con ceros x n a M muestras antes de sacar el DFT, da como resultado una versión muestreada de M-puntos uniformes del DTFT : X 2 M k n 0 N 1 x n 2 M k X 2 M k n 0 N 1 x zp n 2 M k X 2 M k X zp k k k 0 … M 1 La N-pt DFT es suficiente para reconstruir toda la DTFT de una secuencia de N-pt: X ω n 0 N 1 x n ω n X ω n 0 N 1 1 N k 0 N 1 X k 2 N k n ω n X ω k 0 N 1 X k 1 N k 0 N 1 ω 2 N k n X ω k 0 N 1 X k 1 N ω N 2 k 2 ω N 2 k 2 N ω 2 N k N 1 2

Sinc dirichlet, 1 N ω N 2 ω 2

DFT tiene una representación en forma de matriz muy conveniente. Definiendo W N 2 N , X 0 X 1 ⋮ X N 1 W N 0 W N 0 W N 0 W N 0 … W N 0 W N 1 W N 2 W N 3 … W N 0 W N 2 W N 4 W N 6 … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ x 0 x 1 ⋮ x N 1 donde X W x respectivamente. W tiene las siguientes propiedades: W es Vandermonde: La nth columna de W es un polinomio en W N n W es simetrico: W W 1 N W es unitaria: 1 N W 1 N W H 1 N W H 1 N W I 1 N W W -1 , es la matriz y DFT. • Para N un poder de 2, la FFT se puede usar para calcular la DFT usando N 2 2 N en vez de N 2 operaciones. N N 2 2 N N 2 16 32 256 64 192 4096 256 1024 65536 1024 5120 1048576