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Transformada Discreta de Fourier (DFT)

Module by: Don Johnson Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Discrete Fourier Transform (DFT) por Don Johnson

Summary: La transformada de Fourier se puede calcular en timpo discreto apresar de las complicaciones causadas por una señal finita y frecuencias continuas.

La transformada de Fourier Discreta en el tiempo (y también la transformada continua) pueden ser evaluadas cuando tenemos una expresión analítica para la señal. Suponga que tengamos una señal, como es la señal del habla usada en el capitulo anterior, para ella no existe una formula. Entonces ¿cómo podría usted calcular su espectro? Por ejemplo, ¿cómo calculamos el espectrograma para el ejemplo de la señal de habla? La transformada de Fourier discreta ( DFT) nos permite calcula el espectro de información discreta en el tiempo. Estando en tiempo discreto podemos calcular exactamente el espectro, para señales análogas no existe manera similar para calcular su espectro similar. Para el espectro de señales análogas se tienen que construir equipo especial, que consiste en casi todos los casos de convertidores A / D y computaciones discretas. Análisis de el espectro discreta en el tiempo son mas flexibles que los análisis de las señales continuas.

La formula del DTFT es una suma que conceptualmente es fácil de calcular excepto por unos problemas.

  • Duración de la señal. La suma se extiende sobre la duración de la señal, la cual tiene que ser finita para calcular el espectro de la señal. Es extremadamente difícil guardar una señal infinita, así que asumimos que la señal se extiende sobre 0N-1 0 N 1 .
  • Frecuencia continúa. Igual de importante que el problema de la duración de la señal es el hecho que la frecuencia variable es continua: talvez solo se tenga que extender un periodo, como -1212 1 2 1 2 o 01 0 1 , pero la formula DTFT requiere evaluar el espectro de todas las frecuencias dentro del periodo. Calculemos el espectro de unas cuantas frecuencias; las mas obvias son las que tienen una espacio similar f=kK f k K , k∈k…K-1 k k … K 1 .

Así que definimos la transformada discreta de Fourier ( DFT) como

∀k,k∈0…K-1:Sk=∑n=0N-1snⅇ-ⅈ2πnkK k k 0 … K 1 S k n 0 N 1 s n 2 n k K (1)

Aquí, Sk S k representa Sⅇⅈ2πkK S 2 k K .

Podemos calcular el espectro en todas las frecuencias con espacio similar que queremos. Note que usted puede pensar de esta motivación computacional como muestrear el espectro; se vera mas sobre esta interpretación después. El problema ahora es el saber cuantas frecuencias son suficientes para capturar el como el espectro cambia con la frecuencia. Una manera de responder esta pregunta es determinando la formula de la transformada inversa discreta de Fourier: dado Sk S k , k=0…K-1 k 0 … K 1 ¿cómo encontramos sn s n , n=0…N-1 n 0 … N 1 ? La formula estará en la siguiente manera sn=∑k=0K-1Skⅇⅈ2πnkK s n k 0 K 1 S k 2 n k K . Substituyendo la formula DFT en este prototipo para la transformada inversa da

sn=∑k=0K-1∑m=0N-1smⅇ-ⅈ2πmkKⅇⅈ2πnkK s n k 0 K 1 m 0 N 1 s m 2 m k K 2 n k K (2)
Note que la relación de ortogonalidad que usamos tiene un carácter diferente ahora.
∑k=0K-1ⅇ-ⅈ2πkmKⅇⅈ2πknK=Kifm=nn±Kn±2K…0otherwise k 0 K 1 2 k m K 2 k n K K m n ± n K ± n 2 K … 0 (3)
Nosotros obtenemos valores de no cero cada vez que los dos índices difieren por múltiple de KK. Podemos expresar estos resultados como K∑lδm-n-lK K l l δ m n l K . Así, nuestra formula se convierte
sn=∑m=0N-1smK∑l=-∞∞δm-n-lK s n m 0 N 1 s m K l δ m n l K (4)
Los números nn y mm existen en el rango 0…N-1 0 … N 1 . Para obtener una transformada inversa, necesitamos sumar un solo muestreo unitario para m m, n n en este rango. Si no lo hiciéramos, sn s n igualaría a la suma de valores, y no tendríamos una transformada valida: una vez que regresemos al dominio de frecuencia, no podríamos obtener una ¡ambiguosidad! claramente, el termino l=0 l 0 siempre provee un muestreo unitario (nos haremos cargo del factor de K K pronto). Si evaluamos el espectro en menos frecuencias que lo que dura la señal, el termino correspondiente a m=n+K m n K aparecerá para algunos valores de m m, nn = 0…N-1 0 … N 1 . Esta situación significa que nuestra transformada prototipo iguala sn+sn+K s n s n K para cualquier valor de n n. La única manera de eliminar este problema es el requerir K≥N K N : tenemos que tener mas muestreos de frecuencia que lo que dura la señal. De esta manera, podemos regresar del dominio de frecuencia al cual entramos por la DFT.

Exercise 1

Cuando tenemos menos muestreos de frecuencia que lo que dura la señal, algunos valores de la señal discreta igualan la suma de los valore de la señal original. Dada la interpretación del muestreo para el espectro, caracterice este efecto de una manera diferente.

Solution 1

Esta situación nos lleva a aliasing en el dominio del tiempo.

Otra manera para entender este requerimiento es el usar de teoría de ecuaciones lineares. Si escribimos la expresión para el DFT como un conjunto de ecuaciones lineares,

s0+s1+…+sN-1=S0 s 0 s 1 … s N 1 S 0 (5)
s0+s1ⅇ-ⅈ2πK+…+sN-1ⅇ-ⅈ2πN-1K=S1 s 0 s 1 2 K … s N 1 2 N 1 K S 1 ⋮ ⋮ s0+s1ⅇ-ⅈ2πK-1K+…+sN-1ⅇ-ⅈ2πN-1K-1K=SK-1 s 0 s 1 2 K 1 K … s N 1 2 N 1 K 1 K S K 1 tenemos K K. Obtenemos ecuaciones en N N desconocidos si queremos encontrar la señal de su espectro muestreado. Este requerimiento es imposible de encontrar si K<N K N ; tenemos que tener K≥N K N . Nuestra de relación de ortogonalidad esencialmente dice que si tenemos el suficiente numero de ecuaciones (muestreos de frecuencia), el conjunto de ecuaciones que resultan de esto se pueden resolver.

Por convención, el numero de valores para las frecuencias del DFT K K es elegido para igualar la duración de la señal N N. El par para la transformada discreta de Fourier consiste de

Par de la Transformada Discreta de Fourier

Sk=∑n=0N-1snⅇ-ⅈ2πnkN S k n 0 N 1 s n 2 n k N (6)
sn=1N∑k=0N-1Skⅇⅈ2πnkN s n 1 N k 0 N 1 S k 2 n k N (7)

Ejemplo 1

Use esta demostración para hacer un análisis del DFT para la señal.

LabVIEW Example: (run) (source)

Ejemplo 2

Use esta demostración para sintetizar una señal de una secuencia DFT

LabVIEW Example: (run) (source)

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