Calculemos la transformada de Fourier en tiempo discreto para la secuencia del exponencial decadente
sn=anun
s
n
a
n
u
n
, donde
un
u
n
la secuencia del Escalón unitario. Al remplazar la expresión de la señal la formula de la transformada de Fourier.
Sⅇⅈ2πf=∑n=-∞∞anunⅇ-ⅈ2πfn=∑n=0∞aⅇ-ⅈ2πfn
S
2
f
n
a
n
u
n
2
f
n
n
0
a
2
f
n
(1)
La suma es un caso especial de series geométricas.
∀α,|α|<1:∑n=0∞αn=11-α
α
α
1
n
0
α
n
1
1
α
(2)
Así, por mientras que
|a|<1
a
1
, tenemos nuestra transformada de Fourier.
Sⅇⅈ2πf=11-aⅇ-ⅈ2πf
S
2
f
1
1
a
2
f
(3)
Usando la relación de Euler, podemos expresar la magnitud y el ángulo de este espectro.
|Sⅇⅈ2πf|=11-acos2πf2+a2sin22πf
S
2
f
1
1
a
2
f
2
a
2
2
f
2
(4)
∠Sⅇⅈ2πf=-arctanasin2πf1-acos2πf
S
2
f
a
2
f
1
a
2
f
(5)
No importa que valor de aa escojamos, las formulas anteriores demuestran claramente la naturaleza periódica del espectro de señales discretas en el tiempo. figura 1 muestra como el espectro es un función periódica. Tan solo tenemos que considerar el espectro entre
-12
1
2
y
12
1
2
para definirla unambiguosamente. Cuando
a>0
a
0
, tenemos un espectro de pasa bajas – el espectro desaparece cuando la frecuencia incrementa de
0
0
a
12
1
2
— con una
a
a
incrementa nos lleva a un contenido mayor de frecuencias bajas; para
a<0
a
0
,tenemos un espectro de pasa altas. (figura 2).
Análogo a una señal de pulso análogo encontramos el espectro de la secuencia de pulso de tamaño-
N
N
pulse sequence.
sn=1if0≤n≤N-10otherwise
s
n
1
0
n
N
1
0
(6)
La transformada de Fourier de esta secuencia tiene la forma de una serie geométrica truncada.
Sⅇⅈ2πf=∑n=0N-1ⅇ-ⅈ2πfn
S
2
f
n
0
N
1
2
f
n
(7)
Para las llamadas series geométricas finitas, sabemos que
∑n=
n
0
N+
n
0
-1αn=α
n
0
1-αN1-α
n
n
0
N
n
0
1
α
n
α
n
0
1
α
N
1
α
(8)
para
todos los valores de
α
α
.
Derive esta formula para la formula de series geométrica finitas. El “truco” es el considerar la diferencia entre la suma de las series y la suma de las series multiplicada por
α
α
.
α∑n=
n
0
N+
n
0
-1αn-∑n=
n
0
N+
n
0
-1αn=αN+
n
0
-α
n
0
α
n
n
0
N
n
0
1
α
n
n
n
0
N
n
0
1
α
n
α
N
n
0
α
n
0
(9)
la cual, después de algunas manipulaciones, da la formula de la suma geométrica.
Aplicando este resultado da (figura 3.)
Sⅇⅈ2πf=1-ⅇ-ⅈ2πfN1-ⅇ-ⅈ2πf=ⅇ-ⅈπfN-1sinπfNsinπf
S
2
f
1
2
f
N
1
2
f
f
N
1
f
N
f
(10)
El radio de las funciones de seno tiene la forma genérica de
sinNxsinx
N
x
x
, que es mejor conocida como la función de sinc discreta ,
dsincx
dsinc
x
. Por lo tanto, nuestra transformada puede ser expresada como
Sⅇⅈ2πf=ⅇ-ⅈπfN-1dsincπf
S
2
f
f
N
1
dsinc
f
. El espectro del pulso discreto contiene muchas ondulaciones, las cuales el numero incrementa con
N
N
, la duración del pulso.