Derivación del DTFS Así como en la función periódica continua en el tiempo puede ser vista como una función en el intervalo 0 T

Función periódica Función en el intervalo 0 T Solo consideraremos un intervalo para la función periódica en esta sección. Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo N) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describe una señal discreta, donde N 4 : … 3 2 -2 1 3 … ; Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma:

Función periódica Funcion en el intervalo 0 T Aquí nada mas observamos un periodo de la señal que tiene un vector de tamaño cuatro y esta contenida en 4 . El conjunto de señales de tiempo discreto con periodo N es igual a N . Tal como en el caso continuo, formaremos una base usando senosoidales armónicos. Antes de esto, es necesario ver las senosoidales complejas discretas con mas detalle.

Senosoidales Complejos Si usted esta familiarizado con la señal senosoidal básica y con los exponenciales complejos entonces usted no tendrá ningún problema para entender esta sección. En todos los libros, usted verá que la senosoidal compleja discreta se escribe así: ω n

Senosoidal compleja con frecuencia ω 0

Senosoidal compleja con frecuencia ω 4

En el Plano Complejo Nuestra senosoidal compleja se puede graficar en nuestro plano complejo, el cual nos permite visualizar fácilmente los cambios de la senosoidal compleja y extraer algunas propiedades. El valor absoluto de nuestra senosoidal compleja tiene las siguientes características: n n ω n 1 El cual nos dice que nuestra senosoidal compleja únicamente toma valores que se encuentran en el círculo unitario. Con respecto al ángulo, la siguiente afirmación es verdadera: ∠ ω n w n Cuando n incrementa, podemos ver ω n igualando los valores que obtenemos al movernos en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Observe las siguiente figuras para una mejor ilustración:

n 0 n 1 n 2 Estas imágenes muestran que cuando n incrementa, el valor de ω n se mueve en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Para que ω n sea periódica, necesitamos que ω N 1 para algún N. Nuestro primer ejemplo nos permite ver una señal periódica donde ω 2 7 y N 7 .

N 7 Aquí tenemos una grafíca de 2 7 n . Ahora observemos los resultados de graficar una señal no periódica donde ω 1 y N 7 .

N 7 Aquí tenemos una gráfica de n .

Aliasing Nuestra senosoidal compleja tiene la siguiente propiedad: ω n ω 2 n Dada a esta propiedad, si tenemos una senosoidal con frecuencia ω 2 , observaremos que esta señal tendrá un “aliasing” con una senosoidal de frecuencia ω. Cada ω n es única para ω 0 2

Frecuencias “Negativas” Si nos dan una frecuencia ω 2 , entonces esta señal será representada en nuestro plano complejo como:

Gráfica de nuestra senosoidal compleja con una frecuencia mayor que . De nuestras imágenes mostradas arriba, el valor de nuestra senosoidal compleja en el plano complejo se puede interpretar como girar “hacia atrás” (en dirección de las manecillas del reloj) alrededor del círculo unitario con frecuencia 2 ω . Girar en sentido contrario de las manecillas del reloj w es lo mismo que girar en sentido de las manecillas del reloj 2 ω . Graficaremos nuestra senosoidal compleja, ω n , donde tenemos ω 5 4 y n 1 .

La gráfica anterior de la frecuencia dada es idéntica a una donde ω 3 4 . Esta gráfica es la misma que una senosoidal de frecuencia “negativa 3 4 . Tiene más sentido elegir un intervalo entre para ω . Recuerde que ω n y ω n son conjugados. Esto nos da la siguiente notación y propiedad: ω n ω n Las partes reales de ambas exponenciales de la ecuación de arriba son las mismas; la parte imaginaria son los negativos de una a la otra. Esta idea es la definición básica de un conjugado.

Ya que hemos visto los conceptos de senosoidales complejas, retomaremos la idea de encontrar una base para las señales periódicas en tiempo discreto. Después de observar las senosoidales complejas, tenemos que responder la pregunta sobre cuales senosoidales en tiempo discreto necesitamos para representar secuencias periódicas con un periodo N. Encuentre un conjunto de vectores n n 0 … N 1 b k ω k n tal que b k sea una base para ℂ n Para resolver la pregunta de arriba, usaremos las senosoidales “Armónicos” con una frecuencia fundamental de ω 0 2 N : Senosoidales Armónicas 2 N k n

Senosoidal armónico con k 0 Parte imaginaria del senosoidal, 2 N 1 n , con k 1 Parte imaginaria del senosoidal, 2 N 2 n , con k 2 Ejemplos de nuestras armónicos senosoidales. 2 N k n es periódica con periodo N y tiene k “ciclos” entre n 0 y n N 1 . Si dejamos n n 0 … N 1 b k n 1 N 2 N k n donde el término exponencial es un vector en N , entonces k 0 … N 1 b k es una base ortonormal para N . Primero que todo, debemos demostrar que b k es ortonormal, por ejemplo b k b l δ k l b k b l n N 1 0 b k n b l n 1 N n N 1 0 2 N k n 2 N l n b k b l 1 N n N 1 0 2 N l k n Si l k , entonces b k b l 1 N n N 1 0 1 1 Si l k , entonces tenemos que usar la “fórmula de sumatoria parcial” mostrada abajo: n N 1 0 α n n 0 α n n N α n 1 1 α α N 1 α 1 α N 1 α b k b l 1 N n N 1 0 2 N l k n en esta ecuación podemos decir que α 2 N l k , así podemos ver como esta expresión se encuentra en la forma que necesitamos utilizar para nuestra fórmula de sumatoria parcial. b k b l 1 N 1 2 N l k N 1 2 N l k 1 N 1 1 1 2 N l k 0 Así, b k b l 1 k l 0 k l Por lo tanto: b k es un conjunto ortonormal. b k es también un base, ya que existen N vectores que son linealmente independientes (ortogonalidad implica independencia linear). Finalmente, hemos demostrado que los senosoidales armónicos 1 N 2 N k n forman una base ortonormal para ℂ n

Series de Discretas de Fourier (DTFS) Utilizando los pasos anteriores en la derivación, usando nuestro entendimiento de espacio Hilbert , y finalmente usando la expansión ortogonal; el resto de la derivación es automática. Dada una señal periódica discreta (vector ℂ n ) f n , podemos escribir: f n 1 N k N 1 0 c k 2 N k n c k 1 N n N 1 0 f n 2 N k n Nota: Casi toda la gente juntan los términos 1 N en la expresión para c k . Aquí se muestra la forma común de las DTFS tomando en cuenta la nota previa: f n k N 1 0 c k 2 N k n c k 1 N n N 1 0 f n 2 N k n Esto es lo que el comando fft de MATLAB hace.