Para este momento usted debería estar familiarizado con la derivación de la series de Fourier de tiempo continuo, funciones periódicas . Esta derivación nos lleva a las siguientes ecuaciones las cuales usted debería conocer:
ft=∑n
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
t
n
n
c
n
ω
0
n
t
(1)
c
n
=1T∫nftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt=1T<f,ⅇⅈ
ω
0
nt>
c
n
1
T
t
n
f
t
ω
0
n
t
1
T
f
ω
0
n
t
(2)
donde
c
n
c
n
nos dice la cantidad de frecuencia en
ω
0
n
ω
0
n
in
ft
f
t
.
En este módulo derivaremos una expansión similar para funciones periódicas y discretas en el tiempo. Al hacerlo, nosotros derivaremos las series de Fourier discretas en el tiempo (DTFS), también conocidas como trasformadas discretas de Fourier (DFT).
Así como en la función periódica continua en el tiempo puede ser vista como una función en el intervalo
0T
0
T
Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo
NN) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describe una señal discreta, donde
N=4
N
4
:
…32-213…
…
3
2
-2
1
3
…
;
Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma:
El conjunto de señales de tiempo discreto con periodo
NN es igual a
ℂN
N
.
Tal como en el caso continuo, formaremos una base usando
senosoidales armónicos. Antes de esto, es necesario ver las senosoidales complejas discretas con mas detalle.
Si usted esta familiarizado con la señal senosoidal básica y con los exponenciales complejos entonces usted no tendrá ningún problema para entender esta sección. En todos los libros, usted verá que la senosoidal compleja discreta se escribe así:
ⅇⅈωn
ω
n
Nuestra senosoidal compleja se puede graficar en nuestro plano complejo, el cual nos permite visualizar fácilmente los cambios de la senosoidal compleja y extraer algunas propiedades. El valor absoluto de nuestra senosoidal compleja tiene las siguientes características:
∀n,n∈ℝ:|ⅇⅈωn|=1
n
n
ω
n
1
(3)
El cual nos dice que nuestra senosoidal compleja únicamente toma valores que se encuentran en el círculo unitario. Con respecto al ángulo, la siguiente afirmación es verdadera:
∠ⅇⅈωn=wn
∠
ω
n
w
n
(4)
Cuando nn incrementa, podemos ver
ⅇⅈωn
ω
n
igualando los valores que obtenemos al movernos en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Observe las siguiente figuras figura 5 para una mejor ilustración:
Para que
ⅇⅈωn
ω
n
sea
periódica, necesitamos que
ⅇⅈωN=1
ω
N
1
para algún
NN.
Nuestro primer ejemplo nos permite ver una señal periódica donde
ω=2π7
ω
2
7
y
N=7
N
7
.
Ahora observemos los resultados de graficar una señal no periódica donde
ω=1
ω
1
y
N=7
N
7
.
Nuestra senosoidal compleja tiene la siguiente propiedad:
ⅇⅈωn=ⅇⅈω+2πn
ω
n
ω
2
n
(5)
Dada a esta propiedad, si tenemos una senosoidal con frecuencia
ω+2π
ω
2
, observaremos que esta señal tendrá un “aliasing” con una senosoidal de frecuencia
ωω.
Cada
ⅇⅈωn
ω
n
es única para
ω∈
02π
ω
0
2
Si nos dan una frecuencia
π<ω<2π
ω
2
, entonces esta señal será representada en nuestro plano complejo como:
De nuestras imágenes mostradas arriba, el valor de nuestra senosoidal compleja en el plano complejo se puede interpretar como girar “hacia atrás” (en dirección de las manecillas del reloj) alrededor del círculo unitario con frecuencia
2π-ω
2
ω
. Girar en sentido contrario de las manecillas del reloj ww es lo mismo que girar en sentido de las manecillas del reloj
2π-ω
2
ω
.
Graficaremos nuestra senosoidal compleja,
ⅇⅈωn
ω
n
, donde tenemos
ω=5π4
ω
5
4
y
n=1
n
1
.
Esta gráfica es la misma que una senosoidal de frecuencia “negativa
-3π4
3
4
.
Tiene más sentido elegir un intervalo entre
-ππ
para ω
ω.
Recuerde que
ⅇⅈωn
ω
n
y
ⅇ-ⅈωn
ω
n
son conjugados. Esto nos da la siguiente notación y propiedad:
ⅇⅈωn¯=ⅇ-ⅈωn
ω
n
ω
n
(6)
Las partes reales de ambas exponenciales de la ecuación de arriba son las mismas; la parte imaginaria son los negativos de una a la otra. Esta idea es la definición básica de un conjugado.
Ya que hemos visto los conceptos de senosoidales complejas, retomaremos la idea de encontrar una base para las señales periódicas en tiempo discreto. Después de observar las senosoidales complejas, tenemos que responder la pregunta sobre cuales senosoidales en tiempo discreto necesitamos para representar secuencias periódicas con un periodo NN.
Encuentre un conjunto de vectores
∀n,n=0…N-1:bk=ⅇⅈ
ω
k
n
n
n
0
…
N
1
b
k
ω
k
n
tal que
bk
b
k
sea una base para
ℂ
n
ℂ
n
Para resolver la pregunta de arriba, usaremos las senosoidales “Armónicos” con una frecuencia fundamental de
ω
0
=2πN
ω
0
2
N
:
ⅇⅈ2πNkn
2
N
k
n
(7)
ⅇⅈ2πNkn
2
N
k
n
es periódica con periodo N
N y tiene kk “ciclos” entre
n=0
n
0
y
n=N-1
n
N
1
.
Si dejamos
∀n,n=0…N-1:
b
k
n=1Nⅇⅈ2πNkn
n
n
0
…
N
1
b
k
n
1
N
2
N
k
n
donde el término exponencial es un vector en
ℂN
N
, entonces
b
k
|
k=0…N-1
k
0
…
N
1
b
k
es una base ortonormal para
ℂN
N
.
Primero que todo, debemos demostrar que
b
k
b
k
es ortonormal, por ejemplo
<
b
k
,
b
l
>=
δ
k
l
b
k
b
l
δ
k
l
<
b
k
,
b
l
>=∑n=0N-1
b
k
n
b
l
n¯=1N∑n=0N-1ⅇⅈ2πNknⅇ-ⅈ2πNln
b
k
b
l
n
N
1
0
b
k
n
b
l
n
1
N
n
N
1
0
2
N
k
n
2
N
l
n
<
b
k
,
b
l
>=1N∑n=0N-1ⅇⅈ2πNl-kn
b
k
b
l
1
N
n
N
1
0
2
N
l
k
n
(8)
Si
l=k
l
k
,
entonces
<
b
k
,
b
l
>=1N∑n=0N-1
1
=1
b
k
b
l
1
N
n
N
1
0
1
1
(9)
Si
l≠k
l
k
,
entonces tenemos que usar la “fórmula de sumatoria parcial” mostrada abajo:
∑n=0N-1αn=∑n=0∞αn-∑n=N∞αn=11-α-αN1-α=1-αN1-α
n
N
1
0
α
n
n
0
α
n
n
N
α
n
1
1
α
α
N
1
α
1
α
N
1
α
<
b
k
,
b
l
>=1N∑n=0N-1ⅇⅈ2πNl-kn
b
k
b
l
1
N
n
N
1
0
2
N
l
k
n
en esta ecuación podemos decir que
α=ⅇⅈ2πNl-k
α
2
N
l
k
, así podemos ver como esta expresión se encuentra en la forma que necesitamos utilizar para nuestra fórmula de sumatoria parcial.
<
b
k
,
b
l
>=1N1-ⅇⅈ2πNl-kN1-ⅇⅈ2πNl-k=1N1-11-ⅇⅈ2πNl-k=0
b
k
b
l
1
N
1
2
N
l
k
N
1
2
N
l
k
1
N
1
1
1
2
N
l
k
0
Así,
<
b
k
,
b
l
>=
1ifk=l0ifk≠l
b
k
b
l
1
k
l
0
k
l
(10)
Por lo tanto:
b
k
b
k
es un conjunto ortonormal.
b
k
b
k
es también un
base, ya que existen
NN vectores que son
linealmente independientes (ortogonalidad implica independencia linear).
Finalmente, hemos demostrado que los senosoidales armónicos
1Nⅇⅈ2πNkn
1
N
2
N
k
n
forman una base ortonormal para
ℂ
n
ℂ
n
Utilizando los pasos anteriores en la derivación, usando nuestro entendimiento de espacio Hilbert , y finalmente usando la expansión ortogonal; el resto de la derivación es automática. Dada una señal periódica discreta (vector
ℂ
n
ℂ
n
)
fn
f
n
, podemos escribir:
fn=1N∑k=0N-1
c
k
ⅇⅈ2πNkn
f
n
1
N
k
N
1
0
c
k
2
N
k
n
(11)
c
k
=1N∑n=0N-1fnⅇ-ⅈ2πNkn
c
k
1
N
n
N
1
0
f
n
2
N
k
n
(12)
Nota: Casi toda la gente juntan los términos
1N
1
N
en la expresión para
c
k
c
k
.
Aquí se muestra la forma común de las DTFS tomando en cuenta la nota previa:
fn=∑k=0N-1
c
k
ⅇⅈ2πNkn
f
n
k
N
1
0
c
k
2
N
k
n
c
k
=1N∑n=0N-1fnⅇ-ⅈ2πNkn
c
k
1
N
n
N
1
0
f
n
2
N
k
n
Esto es lo que el comando fft de MATLAB hace.