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Análisis de Fourier en Espacios Complejos

Module by: Michael Haag, Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Fourier Analysis in Complex Spaces por Michael Haag, Justin Romberg

Summary: Este módulo deriva la series de Fourier en tiempo discreto (DTFS), las cuales son un tipo de expansión de fourier para funciones periodicas y discretas en el tiempo. El módulo también da un repaso a las senosoidales complejas las cuales sirven como bases.

Introducción

Para este momento usted debería estar familiarizado con la derivación de la series de Fourier de tiempo continuo, funciones periódicas . Esta derivación nos lleva a las siguientes ecuaciones las cuales usted debería conocer:

ft=∑n c n ⅇⅈ ω 0 nt f t n n c n ω 0 n t (1)
c n =1T∫nftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=1T<f,ⅇⅈ ω 0 nt> c n 1 T t n f t ω 0 n t 1 T f ω 0 n t (2)
donde c n c n nos dice la cantidad de frecuencia en ω 0 n ω 0 n in ft f t .

En este módulo derivaremos una expansión similar para funciones periódicas y discretas en el tiempo. Al hacerlo, nosotros derivaremos las series de Fourier discretas en el tiempo (DTFS), también conocidas como trasformadas discretas de Fourier (DFT).

Derivación del DTFS

Así como en la función periódica continua en el tiempo puede ser vista como una función en el intervalo 0T 0 T

Figura 1: Solo consideraremos un intervalo para la función periódica en esta sección.
Subfigure 1.1: Función periódica Subfigure 1.2: Función en el intervalo 0T 0 T
Subfigure 1.1 (fanal1.png)Subfigure 1.2 (fanal2.png)

Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo NN) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describe una señal discreta, donde N=4 N 4 : …32-213… … 3 2 -2 1 3 … ; Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma:

Figura 2: Aquí nada mas observamos un periodo de la señal que tiene un vector de tamaño cuatro y esta contenida en ℂ4 4 .
Subfigure 2.1: Función periódica Subfigure 2.2: Funcion en el intervalo 0T 0 T
Subfigure 2.1 (fanal3.png)Subfigure 2.2 (fanal4.png)

note:

El conjunto de señales de tiempo discreto con periodo NN es igual a ℂN N .
Tal como en el caso continuo, formaremos una base usando senosoidales armónicos. Antes de esto, es necesario ver las senosoidales complejas discretas con mas detalle.

Senosoidales Complejos

Si usted esta familiarizado con la señal senosoidal básica y con los exponenciales complejos entonces usted no tendrá ningún problema para entender esta sección. En todos los libros, usted verá que la senosoidal compleja discreta se escribe así: ⅇⅈωn ω n

Ejemplo 1

Figura 3: Senosoidal compleja con frecuencia ω=0 ω 0
Figura 3 (csin1.png)

Ejemplo 2

Figura 4: Senosoidal compleja con frecuencia ω=π4 ω 4
Figura 4 (csin2.png)

En el Plano Complejo

Nuestra senosoidal compleja se puede graficar en nuestro plano complejo, el cual nos permite visualizar fácilmente los cambios de la senosoidal compleja y extraer algunas propiedades. El valor absoluto de nuestra senosoidal compleja tiene las siguientes características:

∀n,n∈ℝ:|ⅇⅈωn|=1 n n ω n 1 (3)
El cual nos dice que nuestra senosoidal compleja únicamente toma valores que se encuentran en el círculo unitario. Con respecto al ángulo, la siguiente afirmación es verdadera:
∠ⅇⅈωn=wn ∠ ω n w n (4)

Cuando nn incrementa, podemos ver ⅇⅈωn ω n igualando los valores que obtenemos al movernos en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Observe las siguiente figuras figura 5 para una mejor ilustración:

Figura 5: Estas imágenes muestran que cuando n n incrementa, el valor de ⅇⅈωn ω n se mueve en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario.
Subfigure 5.1: n=0 n 0 Subfigure 5.2: n=1 n 1 Subfigure 5.3: n=2 n 2
Subfigure 5.1 (fanalcir2.png)Subfigure 5.2 (fanalcir3.png)Subfigure 5.3 (fanalcir4.png)

note:
Para que ⅇⅈωn ω n sea periódica, necesitamos que ⅇⅈωN=1 ω N 1 para algún NN.

Ejemplo 3

Nuestro primer ejemplo nos permite ver una señal periódica donde ω=2π7 ω 2 7 y N=7 N 7 .

Figura 6
Subfigure 6.1: N=7 N 7 Subfigure 6.2: Aquí tenemos una grafíca de ℜⅇⅈ2π7n 2 7 n .
Subfigure 6.1 (fcirN1.png)Subfigure 6.2 (fplot1.png)
Ejemplo 4

Ahora observemos los resultados de graficar una señal no periódica donde ω=1 ω 1 y N=7 N 7 .

Figura 7
Subfigure 7.1: N=7 N 7 Subfigure 7.2: Aquí tenemos una gráfica de ℜⅇⅈn n .
Subfigure 7.1 (fcirN2.png)Subfigure 7.2 (fplot2.png)

Aliasing

Nuestra senosoidal compleja tiene la siguiente propiedad:

ⅇⅈωn=ⅇⅈω+2πn ω n ω 2 n (5)
Dada a esta propiedad, si tenemos una senosoidal con frecuencia ω+2π ω 2 , observaremos que esta señal tendrá un “aliasing” con una senosoidal de frecuencia ωω.
note:
Cada ⅇⅈωn ω n es única para ω∈ 02π ω 0 2

Frecuencias “Negativas”

Si nos dan una frecuencia π<ω<2π ω 2 , entonces esta señal será representada en nuestro plano complejo como:

Figura 8: Gráfica de nuestra senosoidal compleja con una frecuencia mayor que π.
Subfigure 8.1Subfigure 8.2
Subfigure 8.1 (fanal_neg1.png)Subfigure 8.2 (fanal_neg2.png)

De nuestras imágenes mostradas arriba, el valor de nuestra senosoidal compleja en el plano complejo se puede interpretar como girar “hacia atrás” (en dirección de las manecillas del reloj) alrededor del círculo unitario con frecuencia 2π-ω 2 ω . Girar en sentido contrario de las manecillas del reloj ww es lo mismo que girar en sentido de las manecillas del reloj 2π-ω 2 ω .

Ejemplo 5

Graficaremos nuestra senosoidal compleja, ⅇⅈωn ω n , donde tenemos ω=5π4 ω 5 4 y n=1 n 1 .

Figura 9: La gráfica anterior de la frecuencia dada es idéntica a una donde ω=-3π4 ω 3 4 .
Figura 9 (fanal_neg3.png)

Esta gráfica es la misma que una senosoidal de frecuencia “negativa -3π4 3 4 .

point:
Tiene más sentido elegir un intervalo entre -ππ para ω ω.

Recuerde que ⅇⅈωn ω n y ⅇ-ⅈωn ω n son conjugados. Esto nos da la siguiente notación y propiedad:

ⅇⅈωn¯=ⅇ-ⅈωn ω n ω n (6)
Las partes reales de ambas exponenciales de la ecuación de arriba son las mismas; la parte imaginaria son los negativos de una a la otra. Esta idea es la definición básica de un conjugado.

Ya que hemos visto los conceptos de senosoidales complejas, retomaremos la idea de encontrar una base para las señales periódicas en tiempo discreto. Después de observar las senosoidales complejas, tenemos que responder la pregunta sobre cuales senosoidales en tiempo discreto necesitamos para representar secuencias periódicas con un periodo NN.

Pregunta Equivalente:

Encuentre un conjunto de vectores ∀n,n=0…N-1:bk=ⅇⅈ ω k n n n 0 … N 1 b k ω k n tal que bk b k sea una base para ℂ n ℂ n
Para resolver la pregunta de arriba, usaremos las senosoidales “Armónicos” con una frecuencia fundamental de ω 0 =2πN ω 0 2 N :

Senosoidales Armónicas

ⅇⅈ2πNkn 2 N k n (7)

Figura 10: Ejemplos de nuestras armónicos senosoidales.
Subfigure 10.1: Senosoidal armónico con k=0 k 0 Subfigure 10.2: Parte imaginaria del senosoidal, ℑⅇⅈ2πN1n 2 N 1 n , con k=1 k 1 Subfigure 10.3: Parte imaginaria del senosoidal, ℑⅇⅈ2πN2n 2 N 2 n , con k=2 k 2
Subfigure 10.1 (hsin1.png)Subfigure 10.2 (hsin2.png)Subfigure 10.3 (hsin3.png)

ⅇⅈ2πNkn 2 N k n es periódica con periodo N N y tiene kk “ciclos” entre n=0 n 0 y n=N-1 n N 1 .

theorem 1

Si dejamos ∀n,n=0…N-1: b k n=1Nⅇⅈ2πNkn n n 0 … N 1 b k n 1 N 2 N k n donde el término exponencial es un vector en ℂN N , entonces b k | k=0…N-1 k 0 … N 1 b k es una base ortonormal para ℂN N .

Proof

Primero que todo, debemos demostrar que b k b k es ortonormal, por ejemplo < b k , b l >= δ k l b k b l δ k l < b k , b l >=∑n=0N-1 b k n b l n¯=1N∑n=0N-1ⅇⅈ2πNknⅇ-ⅈ2πNln b k b l n N 1 0 b k n b l n 1 N n N 1 0 2 N k n 2 N l n

< b k , b l >=1N∑n=0N-1ⅇⅈ2πNl-kn b k b l 1 N n N 1 0 2 N l k n (8)
Si l=k l k , entonces
< b k , b l >=1N∑n=0N-1 1 =1 b k b l 1 N n N 1 0 1 1 (9)
Si l≠k l k , entonces tenemos que usar la “fórmula de sumatoria parcial” mostrada abajo: ∑n=0N-1αn=∑n=0∞αn-∑n=N∞αn=11-α-αN1-α=1-αN1-α n N 1 0 α n n 0 α n n N α n 1 1 α α N 1 α 1 α N 1 α < b k , b l >=1N∑n=0N-1ⅇⅈ2πNl-kn b k b l 1 N n N 1 0 2 N l k n en esta ecuación podemos decir que α=ⅇⅈ2πNl-k α 2 N l k , así podemos ver como esta expresión se encuentra en la forma que necesitamos utilizar para nuestra fórmula de sumatoria parcial. < b k , b l >=1N1-ⅇⅈ2πNl-kN1-ⅇⅈ2πNl-k=1N1-11-ⅇⅈ2πNl-k=0 b k b l 1 N 1 2 N l k N 1 2 N l k 1 N 1 1 1 2 N l k 0 Así,
< b k , b l >= 1ifk=l0ifk≠l b k b l 1 k l 0 k l (10)
Por lo tanto: b k b k es un conjunto ortonormal. b k b k es también un base, ya que existen NN vectores que son linealmente independientes (ortogonalidad implica independencia linear).

Finalmente, hemos demostrado que los senosoidales armónicos 1Nⅇⅈ2πNkn 1 N 2 N k n forman una base ortonormal para ℂ n ℂ n

Series de Discretas de Fourier (DTFS)

Utilizando los pasos anteriores en la derivación, usando nuestro entendimiento de espacio Hilbert , y finalmente usando la expansión ortogonal; el resto de la derivación es automática. Dada una señal periódica discreta (vector ℂ n ℂ n ) fn f n , podemos escribir:

fn=1N∑k=0N-1 c k ⅇⅈ2πNkn f n 1 N k N 1 0 c k 2 N k n (11)
c k =1N∑n=0N-1fnⅇ-ⅈ2πNkn c k 1 N n N 1 0 f n 2 N k n (12)
Nota: Casi toda la gente juntan los términos 1N 1 N en la expresión para c k c k .

Series de Fourier de Tiempo Discreto:

Aquí se muestra la forma común de las DTFS tomando en cuenta la nota previa: fn=∑k=0N-1 c k ⅇⅈ2πNkn f n k N 1 0 c k 2 N k n c k =1N∑n=0N-1fnⅇ-ⅈ2πNkn c k 1 N n N 1 0 f n 2 N k n Esto es lo que el comando fft de MATLAB hace.

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