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Análisis de Fourier en Espacios Complejos

Module by: Michael Haag, Justin Romberg. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Fourier Analysis in Complex Spaces by Michael Haag, Justin Romberg

Summary: Este módulo deriva la series de Fourier en tiempo discreto (DTFS), las cuales son un tipo de expansión de fourier para funciones periodicas y discretas en el tiempo. El módulo también da un repaso a las senosoidales complejas las cuales sirven como bases.

Introducción

Para este momento usted debería estar familiarizado con la derivación de la series de Fourier de tiempo continuo, funciones periódicas . Esta derivación nos lleva a las siguientes ecuaciones las cuales usted debería conocer:

f⁢t=∑ n n c n ⁢ej⁢ ω 0 ⁢n⁢t f t n n c n ω 0 n t
(1)
c n =1T⁢∫f⁢t⁢e−(j⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t =1T⁢〈(f,ej⁢ ω 0 ⁢n⁢t)〉 c n 1 T t n f t ω 0 n t 1 T f ω 0 n t
(2)
donde c n c n nos dice la cantidad de frecuencia en ω 0 ⁢n ω 0 n in f⁢t f t .

En este módulo derivaremos una expansión similar para funciones periódicas y discretas en el tiempo. Al hacerlo, nosotros derivaremos las series de Fourier discretas en el tiempo (DTFS), también conocidas como trasformadas discretas de Fourier (DFT).

Derivación del DTFS

Así como en la función periódica continua en el tiempo puede ser vista como una función en el intervalo 0 T 0 T

Figura 1: Solo consideraremos un intervalo para la función periódica en esta sección.
(a) Función periódica (b) Función en el intervalo 0 T 0 T
Figura 1(a) (fanal1.png)Figura 1(b) (fanal2.png)

Una señal periódica discreta en el tiempo (con periodo NN) se puede ver como un conjunto de números finitos. Por ejemplo, digamos que tenemos el siguiente conjunto de números que describe una señal discreta, donde N=4 N 4 : …32-213… … 3 2 -2 1 3 … ; Podemos representar esta señal como una señal periódica o como un intervalo simple de la siguiente forma:

Figura 2: Aquí nada mas observamos un periodo de la señal que tiene un vector de tamaño cuatro y esta contenida en C4 4 .
(a) Función periódica (b) Funcion en el intervalo 0 T 0 T
Figura 2(a) (fanal3.png)Figura 2(b) (fanal4.png)

note:

El conjunto de señales de tiempo discreto con periodo NN es igual a CN N .
Tal como en el caso continuo, formaremos una base usando senosoidales armónicos. Antes de esto, es necesario ver las senosoidales complejas discretas con mas detalle.

Senosoidales Complejos

Si usted esta familiarizado con la señal senosoidal básica y con los exponenciales complejos entonces usted no tendrá ningún problema para entender esta sección. En todos los libros, usted verá que la senosoidal compleja discreta se escribe así: ej⁢ω⁢n ω n

Ejemplo 1

Figura 3: Senosoidal compleja con frecuencia ω=0 ω 0
Figura 3 (csin1.png)

Ejemplo 2

Figura 4: Senosoidal compleja con frecuencia ω=π4 ω 4
Figura 4 (csin2.png)

En el Plano Complejo

Nuestra senosoidal compleja se puede graficar en nuestro plano complejo, el cual nos permite visualizar fácilmente los cambios de la senosoidal compleja y extraer algunas propiedades. El valor absoluto de nuestra senosoidal compleja tiene las siguientes características:

|ej⁢ω⁢n|=1  ,   n∈R    n n ω n 1
(3)
El cual nos dice que nuestra senosoidal compleja únicamente toma valores que se encuentran en el círculo unitario. Con respecto al ángulo, la siguiente afirmación es verdadera:
∠⁢ej⁢ω⁢n=w⁢n ∠ ω n w n
(4)

Cuando nn incrementa, podemos ver ej⁢ω⁢n ω n igualando los valores que obtenemos al movernos en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario. Observe las siguiente figuras figura 5 para una mejor ilustración:

Figura 5: Estas imágenes muestran que cuando n n incrementa, el valor de ej⁢ω⁢n ω n se mueve en contra de las manecillas del reloj alrededor del círculo unitario.
(a) n=0 n 0 (b) n=1 n 1 (c) n=2 n 2
Figura 5(a) (fanalcir2.png)Figura 5(b) (fanalcir3.png)Figura 5(c) (fanalcir4.png)

note:
Para que ej⁢ω⁢n ω n sea periódica, necesitamos que ej⁢ω⁢N=1 ω N 1 para algún NN.

Ejemplo 3

Nuestro primer ejemplo nos permite ver una señal periódica donde ω=2⁢π7 ω 2 7 y N=7 N 7 .

Figura 6
(a) N=7 N 7 (b) Aquí tenemos una grafíca de Re⁢ej⁢2⁢π7⁢n 2 7 n .
Figura 6(a) (fcirN1.png)Figura 6(b) (fplot1.png)
Ejemplo 4

Ahora observemos los resultados de graficar una señal no periódica donde ω=1 ω 1 y N=7 N 7 .

Figura 7
(a) N=7 N 7 (b) Aquí tenemos una gráfica de Re⁢ej⁢n n .
Figura 7(a) (fcirN2.png)Figura 7(b) (fplot2.png)

Aliasing

Nuestra senosoidal compleja tiene la siguiente propiedad:

ej⁢ω⁢n=ej⁢(ω+2⁢π)⁢n ω n ω 2 n
(5)
Dada a esta propiedad, si tenemos una senosoidal con frecuencia ω+2⁢π ω 2 , observaremos que esta señal tendrá un “aliasing” con una senosoidal de frecuencia ωω.
note:
Cada ej⁢ω⁢n ω n es única para ω∈ 0 2⁢π ω 0 2

Frecuencias “Negativas”

Si nos dan una frecuencia π<ω<2⁢π ω 2 , entonces esta señal será representada en nuestro plano complejo como:

Figura 8: Gráfica de nuestra senosoidal compleja con una frecuencia mayor que π.
(a) (b)
Figura 8(a) (fanal_neg1.png)Figura 8(b) (fanal_neg2.png)

De nuestras imágenes mostradas arriba, el valor de nuestra senosoidal compleja en el plano complejo se puede interpretar como girar “hacia atrás” (en dirección de las manecillas del reloj) alrededor del círculo unitario con frecuencia 2⁢π−ω 2 ω . Girar en sentido contrario de las manecillas del reloj ww es lo mismo que girar en sentido de las manecillas del reloj 2⁢π−ω 2 ω .

Ejemplo 5

Graficaremos nuestra senosoidal compleja, ej⁢ω⁢n ω n , donde tenemos ω=5⁢π4 ω 5 4 y n=1 n 1 .

Figura 9: La gráfica anterior de la frecuencia dada es idéntica a una donde ω=−3⁢π4 ω 3 4 .
Figura 9 (fanal_neg3.png)

Esta gráfica es la misma que una senosoidal de frecuencia “negativa −3⁢π4 3 4 .

point:
Tiene más sentido elegir un intervalo entre −π π para ω ω.

Recuerde que ej⁢ω⁢n ω n y e−(j⁢ω⁢n) ω n son conjugados. Esto nos da la siguiente notación y propiedad:

ej⁢ω⁢n*=e−(j⁢ω⁢n) ω n ω n
(6)
Las partes reales de ambas exponenciales de la ecuación de arriba son las mismas; la parte imaginaria son los negativos de una a la otra. Esta idea es la definición básica de un conjugado.

Ya que hemos visto los conceptos de senosoidales complejas, retomaremos la idea de encontrar una base para las señales periódicas en tiempo discreto. Después de observar las senosoidales complejas, tenemos que responder la pregunta sobre cuales senosoidales en tiempo discreto necesitamos para representar secuencias periódicas con un periodo NN.

Pregunta Equivalente:

Encuentre un conjunto de vectores b k =ej⁢ ω k ⁢n  ,   n=0…N−1    n n 0 … N 1 b k ω k n tal que b k b k sea una base para ℂ n ℂ n
Para resolver la pregunta de arriba, usaremos las senosoidales “Armónicos” con una frecuencia fundamental de ω 0 =2⁢πN ω 0 2 N :

Senosoidales Armónicas

ej⁢2⁢πN⁢k⁢n 2 N k n
(7)

Figura 10: Ejemplos de nuestras armónicos senosoidales.
(a) Senosoidal armónico con k=0 k 0 (b) Parte imaginaria del senosoidal, Im⁢ej⁢2⁢πN⁢1⁢n 2 N 1 n , con k=1 k 1 (c) Parte imaginaria del senosoidal, Im⁢ej⁢2⁢πN⁢2⁢n 2 N 2 n , con k=2 k 2
Figura 10(a) (hsin1.png)Figura 10(b) (hsin2.png)Figura 10(c) (hsin3.png)

ej⁢2⁢πN⁢k⁢n 2 N k n es periódica con periodo N N y tiene kk “ciclos” entre n=0 n 0 y n=N−1 n N 1 .

Theorem 1

Si dejamos b k ⁢n=1N⁢ej⁢2⁢πN⁢k⁢n  ,   n=0…N−1    n n 0 … N 1 b k n 1 N 2 N k n donde el término exponencial es un vector en CN N , entonces b k | k=0…N−1 k 0 … N 1 b k es una base ortonormal para CN N .

Proof

Primero que todo, debemos demostrar que b k b k es ortonormal, por ejemplo 〈 b k , b l 〉= δ k l b k b l δ k l 〈 b k , b l 〉=∑ n =0N−1 b k ⁢n⁢ b l ⁢n*=1N⁢∑ n =0N−1ej⁢2⁢πN⁢k⁢n⁢e−(j⁢2⁢πN⁢l⁢n) b k b l n N 1 0 b k n b l n 1 N n N 1 0 2 N k n 2 N l n

〈 b k , b l 〉=1N⁢∑ n =0N−1ej⁢2⁢πN⁢(l−k)⁢n b k b l 1 N n N 1 0 2 N l k n
(8)
Si l=k l k , entonces
〈 b k , b l 〉=1N⁢∑ n =0N−11=1 b k b l 1 N n N 1 0 1 1
(9)
Si l≠k l k , entonces tenemos que usar la “fórmula de sumatoria parcial” mostrada abajo: ∑ n =0N−1αn=∑ n =0∞αn−∑ n =N∞αn=11−α−αN1−α=1−αN1−α n N 1 0 α n n 0 α n n N α n 1 1 α α N 1 α 1 α N 1 α 〈 b k , b l 〉=1N⁢∑ n =0N−1ej⁢2⁢πN⁢(l−k)⁢n b k b l 1 N n N 1 0 2 N l k n en esta ecuación podemos decir que α=ej⁢2⁢πN⁢(l−k) α 2 N l k , así podemos ver como esta expresión se encuentra en la forma que necesitamos utilizar para nuestra fórmula de sumatoria parcial. 〈 b k , b l 〉=1N⁢1−ej⁢2⁢πN⁢(l−k)⁢N1−ej⁢2⁢πN⁢(l−k)=1N⁢1−11−ej⁢2⁢πN⁢(l−k)=0 b k b l 1 N 1 2 N l k N 1 2 N l k 1 N 1 1 1 2 N l k 0 Así,
〈 b k , b l 〉={1  if  k=l0  if  k≠l b k b l 1 k l 0 k l
(10)
Por lo tanto: b k b k es un conjunto ortonormal. b k b k es también un base, ya que existen NN vectores que son linealmente independientes (ortogonalidad implica independencia linear).

Finalmente, hemos demostrado que los senosoidales armónicos 1N⁢ej⁢2⁢πN⁢k⁢n 1 N 2 N k n forman una base ortonormal para ℂ n ℂ n

Series de Discretas de Fourier (DTFS)

Utilizando los pasos anteriores en la derivación, usando nuestro entendimiento de espacio Hilbert , y finalmente usando la expansión ortogonal; el resto de la derivación es automática. Dada una señal periódica discreta (vector ℂ n ℂ n ) f⁢n f n , podemos escribir:

f⁢n=1N⁢∑ k =0N−1 c k ⁢ej⁢2⁢πN⁢k⁢n f n 1 N k N 1 0 c k 2 N k n
(11)
c k =1N⁢∑ n =0N−1f⁢n⁢e−(j⁢2⁢πN⁢k⁢n) c k 1 N n N 1 0 f n 2 N k n
(12)
Nota: Casi toda la gente juntan los términos 1N 1 N en la expresión para c k c k .

Series de Fourier de Tiempo Discreto:

Aquí se muestra la forma común de las DTFS tomando en cuenta la nota previa: f⁢n=∑ k =0N−1 c k ⁢ej⁢2⁢πN⁢k⁢n f n k N 1 0 c k 2 N k n c k =1N⁢∑ n =0N−1f⁢n⁢e−(j⁢2⁢πN⁢k⁢n) c k 1 N n N 1 0 f n 2 N k n Esto es lo que el comando fft de MATLAB hace.

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