Skip to content Skip to navigation

Connexions

You are here: Home » Content » Extensión Periódica de las DTFS

Navigation

Content Actions
  • Download module PDF
  • Add to ...
    Add the module to:
    • My Favorites
    • A lens
    • An external social bookmarking service
    • My Favorites (What is 'My Favorites'?)
      'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections directly in Connexions. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need a Connexions account to use 'My Favorites'.
    • A lens (What is a lens?)

      Definition of a lens

      Lenses

      A lens is a custom view of Connexions content. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see Connexions through the eyes of organizations and people you trust.

      What is in a lens?

      Lens makers point to Connexions materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

      Who can create a lens?

      Any individual Connexions member, a community, or a respected organization.

    • External bookmarks
  • E-mail the author

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Extensión Periódica de las DTFS

Module by: Roy Ha Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Periodic Extension to DTFS por Roy Ha

Summary: Este Modulo ve la extensión Ppriódica de los coeficientes de la DTFS y como los coefcientes juegan un papel critico para manipular las señales.

Introducción

Ya que contamos con entendimiento de lo que son las series discretas de Fourier (DTFS), podemos considerar la extensión periódica de ck c k (coeficientes discretos de Fourier). Las figures básicas mostradas a continuación muestran una simple ilustración de como nosotros podríamos representar una secuencia en forma de señales periódicas graficadas sobre un numero infinito de intervalos.

Figura 1
Subfigure 1.1: vectores
Subfigure 1.1 (fig1a.png)
Subfigure 1.2: secuencias periodicas
Subfigure 1.2 (fig1b.png)

Exercise 1

¿Porqué una extensión periódica de los coeficientes de la DFTS ck c k tiene sentido?

Solution 1

Aliasing: b k =ⅇⅈ2πNkn b k 2 N k n

b k + N =ⅇⅈ2πNk+Nn=ⅇⅈ2πNknⅇⅈ2πn=ⅇⅈ2πNn= b k b k + N 2 N k N n 2 N k n 2 n 2 N n b k (1)
→ Coeficientes DTFS también son periódicos con periodo NN.

Ejemplos

Ejemplo 1: Función Cuadrada Discreta

Figura 2
Figura 2 (fig2.png)

Calcule la DTFS ck c k usando:

ck=1N∑n=0N-1fnⅇ-ⅈ2πNkn c k 1 N n 0 N 1 f n 2 N k n (2)
Como en las series de Fourier continuas, podemos tomar la sumatoria en cualquier intervalo, para tener
c k =1N∑n=- N 1 N 1 ⅇ-ⅈ2πNkn c k 1 N n N 1 N 1 2 N k n (3)
Deje que m=n+ N 1 m n N 1 ,(así tenemos una serie geométrica que empieza en 0)
c k =1N∑m=02 N 1 ⅇ-ⅈ2πNm- N 1 k=1Nⅇⅈ2πNk∑m=02 N 1 ⅇ-ⅈ2πNmk c k 1 N m 0 2 N 1 2 N m N 1 k 1 N 2 N k m 0 2 N 1 2 N m k (4)
Ahora, usando la “formula parcial de sumatoria”
∑n=0Man=1-aM+11-a n 0 M a n 1 a M 1 1 a (5)
c k =1Nⅇⅈ2πN N 1 k∑m=02 N 1 ⅇ-ⅈ2πNkm=1Nⅇⅈ2πN N 1 k1-ⅇ-ⅈ2πN2 N 1 +11-ⅇ-ⅈk2πN c k 1 N 2 N N 1 k m 0 2 N 1 2 N k m 1 N 2 N N 1 k 1 2 N 2 N 1 1 1 k 2 N (6)
Manipulándola para que se vea como el sinc (distribuya)
c k =1Nⅇ-ⅈk2π2Nⅇⅈk2πN N 1 +12-ⅇ-ⅈk2πN N 1 +12ⅇ-ⅈk2π2Nⅇⅈk2πN12-ⅇ-ⅈk2πN12=1Nsin2πk N 1 +12NsinπkN=digital sinc c k 1 N k 2 2 N k 2 N N 1 1 2 k 2 N N 1 1 2 k 2 2 N k 2 N 1 2 k 2 N 1 2 1 N 2 k N 1 1 2 N k N digital sinc (7)

note:

¡es periódica! figura 3, figura 4, y figura 5 muestran como nuestra función y coeficientes para distintos valores de N 1 N 1 .

Figura 3: N 1 =1 N 1 1
Subfigure 3.1: Grafíca de fn f n . Subfigure 3.2: Grafíca de ck c k .
Subfigure 3.1 (dtfs1.png)Subfigure 3.2 (dtfs1a.png)
Figura 4: N 1 =3 N 1 3
Subfigure 4.1: Grafíca de fn f n . Subfigure 4.2: Grafíca de ck c k .
Subfigure 4.1 (dtfs2.png)Subfigure 4.2 (dtfs2a.png)
Figura 5: N 1 =7 N 1 7
Subfigure 5.1: Grafíca de fn f n . Subfigure 5.2: Grafíca de ck c k .
Subfigure 5.1 (dtfs3.png)Subfigure 5.2 (dtfs3a.png)

Ejemplo 2: Sonido de un Pájaro

Figura 6
Figura 6 (nofig.png)

Ejemplo 3: Análisis Espectral de la DFTS

Figura 7
Figura 7 (nofig.png)

Ejemplo 4: Recuperando la Señal

Figura 8
Figura 8 (nofig.png)

Ejemplo 5: Compresión (1-D)

Figura 9
Figura 9 (nofig.png)

Ejemplo 6: Compresión de Imágenes

Figura 10: We've cut down on storage space by > 90% (while incurring some loss)
Subfigure 10.1: Imagen de 256 por 256 (65,636 pixeles)
Subfigure 10.1 (nofig.png)
Subfigure 10.2: Imagen reconstruida usando 6000 coefícientes
Subfigure 10.2 (nofig.png)

Comments, questions, feedback, criticisms?

Send feedback