Skip to content Skip to navigation

OpenStax-CNX

You are here: Home » Content » Algebra Lineal: Conceptos Básicos

Navigation

Lenses

What is a lens?

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

This content is ...

Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)

This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.
  • Rice Digital Scholarship

    This module is included in aLens by: Digital Scholarship at Rice UniversityAs a part of collection: "Señales y Sistemas"

    Click the "Rice Digital Scholarship" link to see all content affiliated with them.

  • Featured Content display tagshide tags

    This module is included inLens: Connexions Featured Content
    By: ConnexionsAs a part of collection: "Señales y Sistemas"

    Comments:

    "Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"

    Click the "Featured Content" link to see all content affiliated with them.

    Click the tag icon tag icon to display tags associated with this content.

Also in these lenses

  • Lens for Engineering

    This module is included inLens: Lens for Engineering
    By: Sidney Burrus

    Click the "Lens for Engineering" link to see all content selected in this lens.

Recently Viewed

This feature requires Javascript to be enabled.

Tags

(What is a tag?)

These tags come from the endorsement, affiliation, and other lenses that include this content.
 

Algebra Lineal: Conceptos Básicos

Module by: Michael Haag, Justin Romberg. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Linear Algebra: The Basics by Michael Haag, Justin Romberg

Summary: Este modulo le dara un pequeño tutorial de algunos de los términos básicos e ideas de álgebra lineal. Esto incluira independencia lineal, subespacios generados, y bases.

Este pequeño tutorial da algunos términos clave de álgebra lineal, no pretende remplazar o ser muy provechoso como en aquellos que usted pretende ganar una profundidad en álgebra lineal. En cambio esto es una pequeña introducción a algunos términos e ideas de álgebra lineal para darnos un pequeño repaso para aquellos que tratan de tener un mejor entendimiento o de aprender sobre eigenvectores (vectores propios) y eigenfunciones (funciones propias), que juegan un papel muy importante en la obtención de ideas importantes en Señales y Sistemas. La meta de estos conceptos es de proveer un respaldo para la descomposición de señales y para conducirnos a la derivación de las Series de Fourier.

Independencia Lineal

Un conjunto de vectores x , x i Cn: x 1 x 2 x k x x i n x 1 x 2 x k es linealmente independiente si ninguno de los vectores puede escribirse como una combinación lineal de los otros.

Definition 1: 1 Linealmente Independiente
Un conjunto dado de vectores x 1 x 2 x n x 1 x 2 x n , es linealmente independiente si c 1 x 1 + c 2 x 2 ++ c n x n =0 c 1 x 1 c 2 x 2 c n x n 0 solo cuando c 1 = c 2 == c n =0 c 1 c 2 c n 0

Ejemplo

Dados los siguientes dos vectores: x 1 =32 x 1 3 2 x 2 =-6-4 x 2 -6 -4 Estos son no linealmente independientes por el siguiente argumento, el cual por inspección, se puede ver que no se apega a la definición anterior de independencia lineal: ( x 2 =-2 x 1 )(2 x 1 + x 2 =0) x 2 -2 x 1 2 x 1 x 2 0 . Otro método para ver la independencia de los vectores es graficando los vectores. Observando estos dos vectores geométricamente (como en la siguiente figura 1), uno puede otra vez probar que estos vectores son no linealmente independientes.

Figura 1: Representación gráfica de dos vectores que no son linealmente independientes.
Figura 1 (vec_f1.png)

Ejemplo 1

Dados los siguientes dos vectores: x 1 =32 x 1 3 2 x 2 =12 x 2 1 2 Estos son linealmente independientes ya que c 1 x 1 =( c 2 x 2 ) c 1 x 1 c 2 x 2 solo si c 1 = c 2 =0 c 1 c 2 0 . Basados en la definición, esta demostración muestra que estos vectores son linealmente independientes. También podemos graficar estos dos vectores (véase figura 2) para checar la independencia lineal.

Figura 2: Representación gráfica de dos vectores que son linealmente independientes.
Figura 2 (vec_f2.png)

Exercise 1

¿Son x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 linealmente independientes? x 1 =32 x 1 3 2 x 2 =12 x 2 1 2 x 3 =-10 x 3 -1 0

Solution

Jugando un poco con los vectores y haciendo intentos de prueba y error, descubrimos la siguiente relación: x 1 x 2 +2 x 3 =0 x 1 x 2 2 x 3 0 donde encontramos una combinación lineal de estos tres vectores igual a cero sin utilizar los coeficientes igual a cero. Por lo tanto, estos vectores son ¡no linealmente independientes!

Como podemos ver en los dos ejemplos anteriores, a veces la independencia de vectores puede ser vista fácilmente a través de una gráfica. Sin embargo esto no es tan sencillo, cuando se nos dan tres o más vectores. Puede decir fácilmente cuando o no estos vectores son independientes figura 3. Probablemente no, esto es, por lo cual el método usado en la solución anterior se vuelve importante.

Figura 3: Gráfica de tres vectores. Puede ser mostrado que la combinación lineal existe entre los tres, y por lo tanto estos son no linealmente independientes.
Figura 3 (vec_f3.png)

observación:

Un conjunto de mm vectores en Cn n no puede ser linealmente independiente si m>n m n .

Subespacio Generado

Definition 2: Subespacio Generado
El subespacio generado o span del conjuto de vectores x 1 x 2 x k x 1 x 2 x k es el conjunto de vectores que pueden ser escritos como una combinación lineal de x 1 x 2 x k x 1 x 2 x k subespacio generado x 1 x k = α , α i Cn: α 1 x 1 + α 2 x 2 ++ α k x k subespacio generado x 1 x k α α i n α 1 x 1 α 2 x 2 α k x k

Ejemplo

Dado el vector x 1 =32 x 1 3 2 el subespacio generado de x 1 x 1 es una linea.

Ejemplo

Dado los vectores x 1 =32 x 1 3 2 x 2 =12 x 2 1 2 El subespacio generado por estos vectores es C2 2 .

Bases

Definition 3: Base
Una base para Cn n es un conjunto de vectores que: (1) generan Cn n y (2) es linealmente independiente.
Claramente, un conjunto de nn vectores linealmente independientes es una base para Cn n .

Ejemplo 2

Dado el siguiente vector e i =00100 e i 0 0 1 0 0 donde el 11 esta siempre en la ii-esima posición y los valores restantes son ceros. Entonces la base para Cn n es i ,i=12n: e i i i 1 2 n e i

note:

i ,i=12n: e i i i 1 2 n e i es llamada la base canónica.

Ejemplo 3

h 1 =11 h 1 1 1 h 2 =1-1 h 2 1 -1 h 1 h 2 h 1 h 2 es una base para C2 2 .

Figura 4: Gráfica de bases para C2 2
Figura 4 (vec_f4.png)

Si b 1 b 2 b 1 b 2 es una base para Cn n , entonces podemos expresar cualquier xCn x n como una combinación lineal de b i b i 's: α , α i C:x= α 1 b 1 + α 2 b 2 ++ α n b n α α i x α 1 b 1 α 2 b 2 α n b n

Ejemplo 4

Dado el siguiente vector, x=12 x 1 2 escribiendo x x en términos de e 1 e 2 e 1 e 2 nos da x= e 1 +2 e 2 x e 1 2 e 2

Exercise 2

Trate de escribir x x en términos de h 1 h 2 h 1 h 2 (definidos en el ejemplo anterior).

Solution

x=32 h 1 +-12 h 2 x 3 2 h 1 -1 2 h 2

En los dos ejemplos de bases anteriores, x x es el mismo vector en ambos casos, pero podemos expresarlo de varias diferentes maneras (dimos solo dos de las muchas posibilidades). Se puede extender aun más la idea de bases para espacio de funciones.

nota:

: Como se menciono en la introducción, estos conceptos de álgebra lineal nos ayudaran para entender las Series de Fourier, las que nos dicen que podemos expresar las funciones periódicas ft f t , en términos de sus funciones de bases ei ω 0 nt ω 0 n t .

Content actions

Download module as:

Add module to:

My Favorites (?)

'My Favorites' is a special kind of lens which you can use to bookmark modules and collections. 'My Favorites' can only be seen by you, and collections saved in 'My Favorites' can remember the last module you were on. You need an account to use 'My Favorites'.

| A lens I own (?)

Definition of a lens

Lenses

A lens is a custom view of the content in the repository. You can think of it as a fancy kind of list that will let you see content through the eyes of organizations and people you trust.

What is in a lens?

Lens makers point to materials (modules and collections), creating a guide that includes their own comments and descriptive tags about the content.

Who can create a lens?

Any individual member, a community, or a respected organization.

What are tags? tag icon

Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.

| External bookmarks