Las muchas propiedades de la
DFTS se convierten sencillas (
muy similares a las de las
Series de Fourier) cuando entendemos el concepto de:
desplazamientos circulares.
Desplazamientos Circulares
Podemos describir las secuencias
periódicas teniendo puntos discretos en un círculo como su dominio.
Desplazar mm,
fn+m
f
n
m
, corresponde a rotar el cilindro mm puntos ACW (en contra del reloj). Para
m=-2
m
-2
, obtenemos un desplazamiento igual al que se ve en la siguiente ilustración:
Para ciclar los desplazamientos seguiremos los siguientes pasos:
1) Escriba
fn
f
n
en el cilindro, ACW
2) Para ciclar por mm, gire el cilindro m lugares ACW
fn→f
((
n
+
m
))
N
→
f
n
f
((
n
+
m
))
N
Ejemplo 1
Si
fn=01234567
f
n
0
1
2
3
4
5
6
7
, entonces
f
((
n
-
3
))
N
=34567012
f
((
n
-
3
))
N
3
4
5
6
7
0
1
2
Es llamado desplazamiento circular, ya que nos estamos moviendo alrededor del círculo. El desplazamiento común es conocido como “desplazamiento linear” (un movimiento en una línea).
Notas para el desplazamiento circular
f
((
n
+
N
))
N
=fn
f
((
n
+
N
))
N
f
n
Girar por NN lugares es lo mismo que girar por una vuelta completa, o no moverse del mismo lugar.
f
((
n
+
N
))
N
=f
((
n
-
(
N
-
m
)
))
N
f
((
n
+
N
))
N
f
((
n
-
(
N
-
m
)
))
N
Desplazar ACW mm es equivalente a
desplazar CW
N-m
N
m
f
((
-
n
))
N
f
((
-
n
))
N
La expresión anterior, escribe los valores de
fn
f
n
para el lado del reloj.
Desplazamientos Circulares y el DFT
theorem 1: Desplazamiento Circular y el DFT
Si
fn
↔
DFT
Fk
f
n
↔
DFT
F
k
entonces
f
((
n
-
m
))
N
↔
DFT
ⅇ-ⅈ2πNkmFk
f
((
n
-
m
))
N
↔
DFT
2
N
k
m
F
k
(Por ejemplo. Desplazamiento circular en el dominio del tiempo= desplazamiento del ángulo en el DFT)
Proof
fn=1N∑k=0N-1Fkⅇⅈ2πNkn
f
n
1
N
k
0
N
1
F
k
2
N
k
n
(1)
así que el desplazar el ángulo en el DFT
fn=1N∑k=0N-1Fkⅇ-ⅈ2πNknⅇⅈ2πNkn=1N∑k=0N-1Fkⅇⅈ2πNkn-m=f
((
n
-
m
))
N
f
n
1
N
k
0
N
1
F
k
2
N
k
n
2
N
k
n
1
N
k
0
N
1
F
k
2
N
k
n
m
f
((
n
-
m
))
N
(2)