En esta sección, nuestro sistema lineal será una matriz de n×n de números complejos. Algunos conceptos de este modulo están basado en los conceptos básicos de álgebra lineal.

Eigenvectores y Eigenvalores Sea A una matriz de n×n donde A es un operador lineal en los vectores de n . A x b donde x y b son vectores de n×1 ().

Ilustración de un sistema lineal y vectores. Eigenvector Un eigenvector de A es un vector v n tal que A v λ v donde λ es llamado el eigenvalor correspondiente. A solo cambia la longitud de v , no su dirección.

Modelo Gráfico A través de las siguientes y , veamos las diferencias de la y de la .

Representa la , A x b . Si v es un eigenvector de A , entonces solo su longitud cambia. Véase y note que la longitud de nuestro vector esta simplemente escalada por una variable λ, llamada eigenvalor:

Representa la , A v λ v . Cuando tratamos con una matriz A , los eigenvectores son los vectores posibles más simples para trabajar.

Ejemplos Por inspección y entendimiento de eigenvectores, encuentre los dos eigenvectores v 1 y v 2 , de A 3 0 0 -1 También ¿cuáles son los eigenvalores correspondientes, λ 1 y λ 2 ? No se preocupe si tiene problemas viendo estos valores de la información dada hasta ahora, veremos otras maneras mas rigurosas de encontrar estos valores. Los eigenvectores que debió encontrar son: v 1 1 0 v 2 0 1 Y los eigenvalores correspondientes son: λ 1 3 λ 2 -1 Muestre que estos dos vectores, v 1 1 1 v 2 1 -1 son eigenvectores de A , donde A 3 -1 -1 3 . También encuentre los eigenvalores correspondientes. Para poder probar que estos dos vectores son eigenvectores, mostraremos que estas afirmaciones cumplen con los requisitos que indica la definición. A v 1 3 -1 -1 3 1 1 2 2 A v 2 3 -1 -1 3 1 -1 4 -4 Este resultado nos muestra que A solo escala los dos vectores (es decir cambia sus longitudes) y esto prueba que la es cierta para los siguientes dos eigenvalores que se le pidió que encontrara: λ 1 2 λ 2 4 . Si quiere convencerse más, entonces también se pueden graficar los vectores y su producto correspondiente con A para ver los resultados como una versión escalada de los vectores originales v 1 y v 2 .

Calculando Eigenvalores y Eigenvectores En los ejemplos anteriores, confiamos en su entendimiento de la definición y de algunas observaciones para encontrar y probar los valores de los eigenvectores y eigenvalores. Sin embrago como se puede dar cuenta, encontrar estos valores no siempre es fácil. A continuación veremos un método matemático para calcular eigenvalores y eigenvectores de una matriz.

Encontrando Eigenvalores Encontrar λ tal que v 0 , donde 0 es el “vector cero”. Empezaremos con la , trabajemos de la siguiente manera mientras encontramos una manera explicita de calcular λ . A v λ v A v λ v 0 A λ I v 0 En el paso previo, usamos el hecho de que λ v λ I v donde I es la matriz identidad. I 1 0 … 0 0 1 … 0 0 0 ⋱ ⋮ 0 … … 1 Por lo tanto, A λ I es justo una matriz nueva. Dada la siguiente matriz, A, entonces podemos encontrar nuestra nueva matriz, A λ I . A a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 A λ I a 1 1 λ a 1 2 a 2 1 a 2 2 λ Si A λ I v 0 para algún v 0 , entonces A λ I es no invertible. Esto quiere decir: A λ I 0 este determinante (el mostrado arriba) se vuelve una expresión polinomial (de grado n). Véase el siguiente ejemplo para entender mejor. Empezando con la matriz A (mostrada a continuación), encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes. A 3 -1 -1 3 A λ I 3 λ -1 -1 3 λ A λ I 3 λ 2 -1 2 λ 2 6 λ 8 λ 2 4 Empezando con la matriz A (mostrada a continuación),encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes. A a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 A λ I a 1 1 λ a 1 2 a 2 1 a 2 2 λ A λ I λ 2 a 1 1 a 2 2 λ a 2 1 a 1 2 a 1 1 a 2 2 Si no lo han notado, calcular los eigenvalores es equivalente a calcular las raíces de A λ I c n λ n c n − 1 λ n 1 … c 1 λ c 0 0 Por lo tanto usando unos pequeños cálculos para resolver las raíces de nuestro polinomio, podemos encontrar los eigenvalores de la matriz.

Encontrando Eigenvectores Dado un eigenvalor, λ i , el eigenvector asociado esta dado por A v λ i v A v 1 ⋮ v n λ 1 v 1 ⋮ λ n v n conjunto de n ecuaciones con n incognitas. Simplemente se resuelven las solve the n ecuaciones para encontrar los eigenvectores.

Punto Principal El decir que los eigenvectores de A, v 1 v 2 … v n , generan el subespacio n , significa que v 1 v 2 … v n son linealmente independientes y que podemos escribir cualquier x n como x α 1 v 1 α 2 v 2 … α n v n donde α 1 α 2 … α n Todo lo que estamos haciendo es reescribir x en términos de los eigenvectores de A. Entonces, A x A α 1 v 1 α 2 v 2 … α n v n A x α 1 A v 1 α 2 A v 2 … α n A v n A x α 1 λ 1 v 1 α 2 λ 2 v 2 … α n λ n v n b por lo tanto podemos escribir, x i α i v i Y esto nos lleva a la siguiente representación del sistema:

Ilustración del sistema donde descomponemos nuestro vector, x, en la suma de sus eigenvectores. donde en la tenemos, b i α i λ i v i Descomponiendo nuestro vector, x, en una combinación de eigenvectores, la solución de A x esta dada en piezas “fáciles de digerir".

Problema de Práctica Para la siguiente matriz, A y vector x, resuélvase por sus productos. Trate de resolverlos por los dos diferentes métodos: directamente y usando eigenvectores. A 3 -1 -1 3 x 5 3 Método Directo (usese la multiplicación básica de matrices) A x 3 -1 -1 3 5 3 12 4 Eigenvectores (use los eigenvectores y eigenvalores que se encotraron anteriormente para esta misma matriz) v 1 1 1 v 2 1 -1 λ 1 2 λ 2 4 Como se muestra en la , queremos representar x como la suma de sus eigenvectores escalados. Para este caso tenemos: x 4 v 1 v 2 x 5 3 4 1 1 1 -1 A x A 4 v 1 v 2 λ i 4 v 1 v 2 Por lo tanto, tenemos A x 4 2 1 1 4 1 -1 12 4 Nótese que el método usando eigenvectores no requiere multiplicación de matrices. . Esto puede parecer mas complicado hasta ahora, pero, imagine que A es de dimensiones muy grandes.