En esta sección, nuestro sistema lineal será una matriz de n×n de números complejos. Algunos conceptos de este modulo están basado en los conceptos básicos de álgebra lineal.
Sea
A
A una matriz de n×n donde
A
A es un operador lineal en los vectores de
ℂn
n
.
Ax=b
A
x
b
(1)
donde
x
x y
b
b
son vectores de n×1 (
figura 1).
- Definition 1: Eigenvector
Un eigenvector de
A
A es un vector
v∈ℂn
v
n
tal que
Av=λv
A
v
λ
v
(2)
donde
λ
λ es llamado el
eigenvalor correspondiente.
A
A solo cambia la
longitud de
v
v, no su dirección.
A través de las siguientes figura 2 y figura 3,
veamos las diferencias de la ecuación 1 y de la ecuación 2.
Si
v
v es un eigenvector de
A
A, entonces solo su longitud cambia.
Véase figura 3 y note que la longitud de nuestro vector esta simplemente escalada por una variable
λλ, llamada eigenvalor:
Cuando tratamos con una matriz
A A, los eigenvectores son los vectores posibles más
simples para trabajar.
Por inspección y entendimiento de eigenvectores, encuentre los dos eigenvectores
v1
v
1
y
v2
v
2
,
de
A=
300-1
A
3
0
0
-1
También ¿cuáles son los eigenvalores correspondientes,
λ
1
λ
1
y
λ
2
λ
2
? No se preocupe si tiene problemas viendo estos valores de la información dada hasta ahora, veremos otras maneras mas rigurosas de encontrar estos valores.
Los eigenvectores que debió encontrar son:
v1=10
v
1
1
0
v2=01
v
2
0
1
Y los eigenvalores correspondientes son:
λ
1
=3
λ
1
3
λ
2
=-1
λ
2
-1
Muestre que estos dos vectores,
v1=11
v
1
1
1
v2=1-1
v
2
1
-1
son eigenvectores de
A
A, donde
A=3-1-13
A
3
-1
-1
3
. También encuentre los eigenvalores correspondientes.
Para poder probar que estos dos vectores son eigenvectores, mostraremos que estas afirmaciones cumplen con los requisitos que indica la definición.
Av1=
3-1-13
11
=
22
A
v
1
3
-1
-1
3
1
1
2
2
Av2=
3-1-13
1-1
=
4-4
A
v
2
3
-1
-1
3
1
-1
4
-4
Este resultado nos muestra que
A
A
solo escala los dos vectores (es decir
cambia sus longitudes) y esto prueba que la ecuación 2 es cierta para los siguientes dos eigenvalores que se le pidió que encontrara:
λ
1
=2
λ
1
2
λ
2
=4
λ
2
4
.
Si quiere convencerse más, entonces también se pueden graficar los vectores y su producto correspondiente con
AA para ver los resultados como una versión escalada de los vectores originales
v1
v
1
y
v2
v
2
.
En los ejemplos anteriores, confiamos en su entendimiento de la definición y de algunas observaciones para encontrar y probar los valores de los eigenvectores y eigenvalores. Sin embrago como se puede dar cuenta, encontrar estos valores no siempre es fácil. A continuación veremos un método matemático para calcular eigenvalores y eigenvectores de una matriz.
Encontrar
λ∈ℂ
λ
tal que
v≠0
v
0
,
donde
0
0 es el “vector cero”. Empezaremos con la ecuación 2, trabajemos de la siguiente manera mientras encontramos una manera explicita de calcular
λ
λ.
Av=λv
A
v
λ
v
Av−λv=0
A
v
λ
v
0
A−λIv=0
A
λ
I
v
0
En el paso previo, usamos el hecho de que
λv=λIv
λ
v
λ
I
v
donde II es la matriz identidad.
I=
10…001…000⋱⋮0……1
I
1
0
…
0
0
1
…
0
0
0
⋱
⋮
0
…
…
1
Por lo tanto,
A−λI
A
λ
I
es justo una matriz nueva.
Dada la siguiente matriz,
AA, entonces podemos encontrar nuestra nueva matriz,
A−λI
A
λ
I
.
A=
a11a12a21a22
A
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
A−λI=
a11−λa12a21a22−λ
A
λ
I
a
1
1
λ
a
1
2
a
2
1
a
2
2
λ
Si
A−λIv=0
A
λ
I
v
0
para algún
v≠0
v
0
, entonces
A−λI
A
λ
I
es no invertible. Esto quiere decir:
detA−λI=0
A
λ
I
0
este determinante (el mostrado arriba) se vuelve una expresión polinomial (de grado nn). Véase el siguiente ejemplo para entender mejor.
Empezando con la matriz AA
(mostrada a continuación), encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes.
A=
3-1-13
A
3
-1
-1
3
A−λI=
3−λ-1-13−λ
A
λ
I
3
λ
-1
-1
3
λ
detA−λI=3−λ2−
-1
2=λ2−6λ+8
A
λ
I
3
λ
2
-1
2
λ
2
6
λ
8
λ=
24
λ
2
4
Empezando con la matriz AA
(mostrada a continuación),encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes.
A=
a11a12a21a22
A
a
1
1
a
1
2
a
2
1
a
2
2
A−λI=
a11−λa12a21a22−λ
A
λ
I
a
1
1
λ
a
1
2
a
2
1
a
2
2
λ
detA−λI=λ2−a11+a22λ−a21a12+a11a22
A
λ
I
λ
2
a
1
1
a
2
2
λ
a
2
1
a
1
2
a
1
1
a
2
2
Si no lo han notado, calcular los eigenvalores es equivalente a calcular las raíces de
detA−λI=
c
n
λn+
c
n
−
1
λn−1+…+
c
1
λ+
c
0
=0
A
λ
I
c
n
λ
n
c
n
−
1
λ
n
1
…
c
1
λ
c
0
0
Por lo tanto usando unos pequeños cálculos para resolver las raíces de nuestro polinomio, podemos encontrar los eigenvalores de la matriz.
Dado un eigenvalor,
λ
i
λ
i
, el eigenvector asociado esta dado por
Av=
λ
i
v
A
v
λ
i
v
Av1⋮vn=
λ
1
v1⋮
λ
n
vn
A
v
1
⋮
v
n
λ
1
v
1
⋮
λ
n
v
n
conjunto de nn ecuaciones con
nn incognitas. Simplemente se resuelven las solve the nn
ecuaciones para encontrar los eigenvectores.
El decir que los eigenvectores de AA,
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
,
generan el subespacio
ℂn
n
, significa que
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
son linealmente independientes y que podemos escribir cualquier
x∈ℂn
x
n
como
x=
α
1
v1+
α
2
v2+…+
α
n
vn
x
α
1
v
1
α
2
v
2
…
α
n
v
n
(3)
donde
α1α2…αn
∈ℂ
α
1
α
2
…
α
n
Todo lo que estamos haciendo es reescribir
xx en términos de los eigenvectores de
AA. Entonces,
Ax=A
α
1
v1+
α
2
v2+…+
α
n
vn
A
x
A
α
1
v
1
α
2
v
2
…
α
n
v
n
Ax=
α
1
Av1+
α
2
Av2+…+
α
n
Avn
A
x
α
1
A
v
1
α
2
A
v
2
…
α
n
A
v
n
Ax=
α
1
λ
1
v1+
α
2
λ
2
v2+…+
α
n
λ
n
vn=b
A
x
α
1
λ
1
v
1
α
2
λ
2
v
2
…
α
n
λ
n
v
n
b
por lo tanto podemos escribir,
x=∑i
α
i
vi
x
i
α
i
v
i
Y esto nos lleva a la siguiente representación del sistema:
donde en la figura 4 tenemos,
b=∑i
α
i
λ
i
vi
b
i
α
i
λ
i
v
i
Descomponiendo nuestro vector, xx, en una combinación de eigenvectores, la solución de
Ax
A
x
esta dada en piezas “fáciles de digerir".
Para la siguiente matriz, AA y
vector xx, resuélvase por sus productos. Trate de resolverlos por los dos diferentes métodos: directamente y usando eigenvectores.
A=
3-1-13
A
3
-1
-1
3
x=
53
x
5
3
Método Directo (usese la multiplicación básica de matrices)
Ax=
3-1-13
53
=
124
A
x
3
-1
-1
3
5
3
12
4
Eigenvectores (use los eigenvectores
y eigenvalores que se encotraron anteriormente para esta misma matriz)
v1=11
v
1
1
1
v2=1-1
v
2
1
-1
λ
1
=2
λ
1
2
λ
2
=4
λ
2
4
Como se muestra en la ecuación 3, queremos representar xx como la suma de sus eigenvectores escalados. Para este caso tenemos:
x=4v1+v2
x
4
v
1
v
2
x=
53
=4
11
+
1-1
x
5
3
4
1
1
1
-1
Ax=A4v1+v2=
λ
i
4v1+v2
A
x
A
4
v
1
v
2
λ
i
4
v
1
v
2
Por lo tanto, tenemos
Ax=4×2
11
+4
1-1
=
124
A
x
4
2
1
1
4
1
-1
12
4
Nótese que el método usando eigenvectores
no requiere multiplicación de matrices. . Esto puede parecer mas complicado hasta ahora, pero, imagine que AA es de dimensiones muy grandes.
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"