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Eigenvectores y Eigenvalores

Module by: Michael Haag, Justin Romberg. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Eigenvectors and Eigenvalues by Michael Haag, Justin Romberg

Summary: This module defines eigenvalues and eigenvectors and explains a method of finding them given a matrix. These ideas are presented, along with many examples, in hopes of leading up to an understanding of the Fourier Series.

En esta sección, nuestro sistema lineal será una matriz de n×n de números complejos. Algunos conceptos de este modulo están basado en los conceptos básicos de álgebra lineal.

Eigenvectores y Eigenvalores

Sea A A una matriz de n×n donde A A es un operador lineal en los vectores de Cn n .

Ax=b A x b
(1)
donde x x y b b son vectores de n×1 (figura 1).

Figura 1: Ilustración de un sistema lineal y vectores.
(a)
Figura 1(a) (eigv_f1.png)
(b)
Figura 1(b) (eigv_f2.png)
Definition 1: Eigenvector
Un eigenvector de A A es un vector vCn v n tal que
Av=λv A v λ v
(2)
donde λ λ es llamado el eigenvalor correspondiente. A A solo cambia la longitud de v v, no su dirección.

Modelo Gráfico

A través de las siguientes figura 2 y figura 3, veamos las diferencias de la ecuación 1 y de la ecuación 2.

Figura 2: Representa la ecuación 1, Ax=b A x b .
Figura 2 (eigv_f3a.png)

Si v v es un eigenvector de A A, entonces solo su longitud cambia. Véase figura 3 y note que la longitud de nuestro vector esta simplemente escalada por una variable λλ, llamada eigenvalor:

Figura 3: Representa la ecuación 2, Av=λv A v λ v .
Figura 3 (eigv_f4.png)

nota:

Cuando tratamos con una matriz A A, los eigenvectores son los vectores posibles más simples para trabajar.

Ejemplos

Exercise 1

Por inspección y entendimiento de eigenvectores, encuentre los dos eigenvectores v 1 v 1 y v 2 v 2 , de A=( 30 0-1 ) A 3 0 0 -1 También ¿cuáles son los eigenvalores correspondientes, λ 1 λ 1 y λ 2 λ 2 ? No se preocupe si tiene problemas viendo estos valores de la información dada hasta ahora, veremos otras maneras mas rigurosas de encontrar estos valores.

Solution

Los eigenvectores que debió encontrar son: v 1 =10 v 1 1 0 v 2 =01 v 2 0 1 Y los eigenvalores correspondientes son: λ 1 =3 λ 1 3 λ 2 =-1 λ 2 -1

Exercise 2

Muestre que estos dos vectores, v 1 =11 v 1 1 1 v 2 =1-1 v 2 1 -1 son eigenvectores de A A, donde A=( 3-1 -13 ) A 3 -1 -1 3 . También encuentre los eigenvalores correspondientes.

Solution

Para poder probar que estos dos vectores son eigenvectores, mostraremos que estas afirmaciones cumplen con los requisitos que indica la definición. A v 1 =( 3-1 -13 )11=22 A v 1 3 -1 -1 3 1 1 2 2 A v 2 =( 3-1 -13 )1-1=4-4 A v 2 3 -1 -1 3 1 -1 4 -4 Este resultado nos muestra que A A solo escala los dos vectores (es decir cambia sus longitudes) y esto prueba que la ecuación 2 es cierta para los siguientes dos eigenvalores que se le pidió que encontrara: λ 1 =2 λ 1 2 λ 2 =4 λ 2 4 . Si quiere convencerse más, entonces también se pueden graficar los vectores y su producto correspondiente con AA para ver los resultados como una versión escalada de los vectores originales v 1 v 1 y v 2 v 2 .

Calculando Eigenvalores y Eigenvectores

En los ejemplos anteriores, confiamos en su entendimiento de la definición y de algunas observaciones para encontrar y probar los valores de los eigenvectores y eigenvalores. Sin embrago como se puede dar cuenta, encontrar estos valores no siempre es fácil. A continuación veremos un método matemático para calcular eigenvalores y eigenvectores de una matriz.

Encontrando Eigenvalores

Encontrar λC λ tal que v0 v 0 , donde 0 0 es el “vector cero”. Empezaremos con la ecuación 2, trabajemos de la siguiente manera mientras encontramos una manera explicita de calcular λ λ. Av=λv A v λ v Avλv=0 A v λ v 0 (AλI)v=0 A λ I v 0 En el paso previo, usamos el hecho de que λv=λIv λ v λ I v donde II es la matriz identidad. I=( 100 010 00 01 ) I 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Por lo tanto, AλI A λ I es justo una matriz nueva.

Ejemplo 1

Dada la siguiente matriz, AA, entonces podemos encontrar nuestra nueva matriz, AλI A λ I . A=( a1,1a1,2 a2,1a2,2 ) A a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 AλI=( a1,1λa1,2 a2,1a2,2λ ) A λ I a 1 1 λ a 1 2 a 2 1 a 2 2 λ

Si (AλI)v=0 A λ I v 0 para algún v0 v 0 , entonces AλI A λ I es no invertible. Esto quiere decir: det(AλI)=0 A λ I 0 este determinante (el mostrado arriba) se vuelve una expresión polinomial (de grado nn). Véase el siguiente ejemplo para entender mejor.

Ejemplo 2

Empezando con la matriz AA (mostrada a continuación), encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes. A=( 3-1 -13 ) A 3 -1 -1 3 AλI=( 3λ-1 -13λ ) A λ I 3 λ -1 -1 3 λ det(AλI)=3λ2-12=λ26λ+8 A λ I 3 λ 2 -1 2 λ 2 6 λ 8 λ=24 λ 2 4

Ejemplo 3

Empezando con la matriz AA (mostrada a continuación),encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes. A=( a1,1a1,2 a2,1a2,2 ) A a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 AλI=( a1,1λa1,2 a2,1a2,2λ ) A λ I a 1 1 λ a 1 2 a 2 1 a 2 2 λ det(AλI)=λ2(a1,1+a2,2)λa2,1a1,2+a1,1a2,2 A λ I λ 2 a 1 1 a 2 2 λ a 2 1 a 1 2 a 1 1 a 2 2

Si no lo han notado, calcular los eigenvalores es equivalente a calcular las raíces de det(AλI)= c n λn+ c n 1 λn1++ c 1 λ+ c 0 =0 A λ I c n λ n c n 1 λ n 1 c 1 λ c 0 0

conclusión:

Por lo tanto usando unos pequeños cálculos para resolver las raíces de nuestro polinomio, podemos encontrar los eigenvalores de la matriz.

Encontrando Eigenvectores

Dado un eigenvalor, λ i λ i , el eigenvector asociado esta dado por Av= λ i v A v λ i v A v 1 v n = λ 1 v 1 λ n v n A v 1 v n λ 1 v 1 λ n v n conjunto de nn ecuaciones con nn incognitas. Simplemente se resuelven las solve the nn ecuaciones para encontrar los eigenvectores.

Punto Principal

El decir que los eigenvectores de AA, v 1 v 2 v n v 1 v 2 v n , generan el subespacio Cn n , significa que v 1 v 2 v n v 1 v 2 v n son linealmente independientes y que podemos escribir cualquier xCn x n como

x= α 1 v 1 + α 2 v 2 ++ α n v n x α 1 v 1 α 2 v 2 α n v n
(3)
donde α 1 α 2 α n C α 1 α 2 α n Todo lo que estamos haciendo es reescribir xx en términos de los eigenvectores de AA. Entonces, Ax=A( α 1 v 1 + α 2 v 2 ++ α n v n ) A x A α 1 v 1 α 2 v 2 α n v n Ax= α 1 A v 1 + α 2 A v 2 ++ α n A v n A x α 1 A v 1 α 2 A v 2 α n A v n Ax= α 1 λ 1 v 1 + α 2 λ 2 v 2 ++ α n λ n v n =b A x α 1 λ 1 v 1 α 2 λ 2 v 2 α n λ n v n b por lo tanto podemos escribir, x=i α i v i x i α i v i Y esto nos lleva a la siguiente representación del sistema:

Figura 4: Ilustración del sistema donde descomponemos nuestro vector, xx, en la suma de sus eigenvectores.
Figura 4 (eigv_sys.png)

donde en la figura 4 tenemos, b=i α i λ i v i b i α i λ i v i

Punto Principal:

Descomponiendo nuestro vector, xx, en una combinación de eigenvectores, la solución de Ax A x esta dada en piezas “fáciles de digerir".

Problema de Práctica

Exercise 3

Para la siguiente matriz, AA y vector xx, resuélvase por sus productos. Trate de resolverlos por los dos diferentes métodos: directamente y usando eigenvectores. A=( 3-1 -13 ) A 3 -1 -1 3 x=53 x 5 3

Solution

Método Directo (usese la multiplicación básica de matrices) Ax=( 3-1 -13 )53=124 A x 3 -1 -1 3 5 3 12 4 Eigenvectores (use los eigenvectores y eigenvalores que se encotraron anteriormente para esta misma matriz) v 1 =11 v 1 1 1 v 2 =1-1 v 2 1 -1 λ 1 =2 λ 1 2 λ 2 =4 λ 2 4 Como se muestra en la ecuación 3, queremos representar xx como la suma de sus eigenvectores escalados. Para este caso tenemos: x=4 v 1 + v 2 x 4 v 1 v 2 x=53=411+1-1 x 5 3 4 1 1 1 -1 Ax=A(4 v 1 + v 2 )= λ i (4 v 1 + v 2 ) A x A 4 v 1 v 2 λ i 4 v 1 v 2 Por lo tanto, tenemos Ax=4×211+41-1=124 A x 4 2 1 1 4 1 -1 12 4 Nótese que el método usando eigenvectores no requiere multiplicación de matrices. . Esto puede parecer mas complicado hasta ahora, pero, imagine que AA es de dimensiones muy grandes.

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