De nuestro entendimiento de eigenvalores y eigenvectores hemos descubierto ciertas cosas sobre nuestro operador, la matriz A. Sabemos que los eigenvectores de A generan el espacio n y sabemos como expresar cualquier vector x en términos de v 1 v 2 … v n , entonces tenemos el operador A calculado. Si tenemos A actuando en x, después esto es igual a A actuando en la combinación de los eigenvectores. Todavía tenemos dos preguntas pendientes: ¿Cuándo los eigenvectores v 1 v 2 … v n de A generan el espacio n (asumiendo que v 1 v 2 … v n linealmente independientes)? ¿Cómo expresamos un vector dado x en términos de v 1 v 2 … v n ?

1 Respuesta a la Pregunta #1 ¿Cuándo los eigenvectores v 1 v 2 … v n de A generan el espacio n ? Si A tiene n diferentes eigenvalores i i j λ i λ j donde i y j son enteros, entonces A tiene n eigenvectores linealmente independientes. v 1 v 2 … v n que generan el espacio n . La demostración de esta proposición no es muy difícil, pero no es interesante para incluirla aquí. Si desea investigar esta idea, léase Strang G., “Algebra Lineal y sus aplicaciones” para la demostración. Además, n diferentes eigenvalores significa que A λ I c n λ n c n − 1 λ n 1 … c 1 λ c 0 0 tiene n raíces diferentes.

Respuesta a la Pregunta #2 ¿Cómo expresamos un vector dado x en términos de v 1 v 2 … v n ? Queremos encontrar α 1 α 2 … α n tal que x α 1 v 1 α 2 v 2 … α n v n Para poder encontrar el conjunto de variables, empezaremos poniendo los vectores v 1 v 2 … v n como culumnas en una matriz V de n×n. V ⋮ ⋮ ⋮ v 1 v 2 … v n ⋮ ⋮ ⋮ Ahora la se convierte en x ⋮ ⋮ ⋮ v 1 v 2 … v n ⋮ ⋮ ⋮ α 1 ⋮ α n ó x V α Lo que nos da una forma sencilla de resolver para la variable de nuestra pregunta α: α V -1 x Notese que V es invertible ya que tiene n columnas linealmnete independientes.

Comentarios Adicionales Recordemos el conocimiento de funciones y sus bases y examinemos el papel de V. x V α x 1 ⋮ x n V α 1 ⋮ α n donde α es solo x expresada en una base diferente: x x 1 1 0 ⋮ 0 x 2 0 1 ⋮ 0 … x n 0 0 ⋮ 1 x α 1 ⋮ v 1 ⋮ α 2 ⋮ v 2 ⋮ … α n ⋮ v n ⋮ V transforma x de la base canónica a la base v 1 v 2 … v n

Diagonalización de Matrices y Salidas También podemos usar los vectores v 1 v 2 … v n para representar la salida b , del sistema: b A x A α 1 v 1 α 2 v 2 … α n v n A x α 1 λ 1 v 1 α 2 λ 2 v 2 … α n λ n v n b A x ⋮ ⋮ ⋮ v 1 v 2 … v n ⋮ ⋮ ⋮ λ 1 α 1 ⋮ λ 1 α n A x V Λ α A x V Λ V -1 x donde Λ es la matriz con eigenvalores en la diagonal: Λ λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n Finalmente, podemos cancelar las x y quedarnos con una ecuación final para A: A V Λ V -1

1 Interpretación Para nuestra interpretación, recordemos nuestra formulas: α V -1 x b i α i λ i v i podemos interpretar el funcionamiento de x con A como: x 1 ⋮ x n α 1 ⋮ α n λ 1 α 1 ⋮ λ 1 α n b 1 ⋮ b n Donde los tres pasos (las flechas) en la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones: Transformar x usando V -1 , nos da α Multiplicar por Λ Transformada Inversa usando V , lo que nos da b ¡Este es el paradigma que usaremos para los sistemas LTI!

Ilustración simple del sistema LTI.