De nuestro entendimiento de eigenvalores y eigenvectores hemos descubierto ciertas cosas sobre nuestro operador, la matriz
AA. Sabemos que los eigenvectores de AA generan el espacio
ℂn
n
y sabemos como expresar cualquier vector xx en términos de
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
, entonces tenemos el operador AA calculado. Si tenemos AA actuando en xx, después esto es igual a
AA actuando en la combinación de los eigenvectores.
Todavía tenemos dos preguntas pendientes:
-
¿Cuándo los eigenvectores
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
de AA generan el espacio
ℂn
n
(asumiendo que
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
linealmente independientes)?
-
¿Cómo expresamos un vector dado xx en términos de
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
?
¿Cuándo los eigenvectores
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
de AA generan el espacio
ℂn
n
?
Si
AA tiene
nn diferentes
eigenvalores
∀i,i≠j:
λ
i
≠
λ
j
i
i
j
λ
i
λ
j
donde
ii y
jj son enteros, entonces
AA tiene
nn
eigenvectores linealmente independientes.
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
que generan el espacio
ℂn
n
.
La demostración de esta proposición no es muy difícil, pero no es interesante para incluirla aquí. Si desea investigar esta idea, léase Strang G., “Algebra Lineal y sus aplicaciones” para la demostración.
Además,
nn diferentes eigenvalores significa que
detA−λI=
c
n
λn+
c
n
−
1
λn−1+…+
c
1
λ+
c
0
=0
A
λ
I
c
n
λ
n
c
n
−
1
λ
n
1
…
c
1
λ
c
0
0
tiene
nn raíces diferentes.
¿Cómo expresamos un vector dado xx en términos de
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
?
Queremos encontrar
α
1
α
2
…
α
n
∈ℂ
α
1
α
2
…
α
n
tal que
x=
α
1
v1+
α
2
v2+…+
α
n
vn
x
α
1
v
1
α
2
v
2
…
α
n
v
n
(1)
Para poder encontrar el conjunto de variables, empezaremos poniendo los vectores
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
como culumnas en una matriz
V
V de n×n.
V=
⋮⋮ ⋮v1v2…vn⋮⋮ ⋮
V
⋮
⋮
⋮
v
1
v
2
…
v
n
⋮
⋮
⋮
Ahora la
ecuación 1 se convierte en
x=
⋮⋮ ⋮v1v2…vn⋮⋮ ⋮
α
1
⋮
α
n
x
⋮
⋮
⋮
v
1
v
2
…
v
n
⋮
⋮
⋮
α
1
⋮
α
n
ó
x=Vα
x
V
α
Lo que nos da una forma sencilla de resolver para la variable de nuestra pregunta
αα:
α=V-1x
α
V
-1
x
Notese que
VV es invertible ya que tiene
nn columnas linealmnete independientes.
Recordemos el conocimiento de funciones y sus bases y examinemos el papel de VV.
x=Vα
x
V
α
x
1
⋮
x
n
=V
α
1
⋮
α
n
x
1
⋮
x
n
V
α
1
⋮
α
n
donde αα es solo xx expresada en una base diferente:
x=
x
1
10⋮0+
x
2
01⋮0+…+
x
n
00⋮1
x
x
1
1
0
⋮
0
x
2
0
1
⋮
0
…
x
n
0
0
⋮
1
x=
α
1
⋮v1⋮+
α
2
⋮v2⋮+…+
α
n
⋮vn⋮
x
α
1
⋮
v
1
⋮
α
2
⋮
v
2
⋮
…
α
n
⋮
v
n
⋮
VV
transforma
xx de la base canónica a la base
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
También podemos usar los vectores
v1v2…vn
v
1
v
2
…
v
n
para representar la salida b
b, del sistema:
b=Ax=A
α
1
v1+
α
2
v2+…+
α
n
vn
b
A
x
A
α
1
v
1
α
2
v
2
…
α
n
v
n
Ax=
α
1
λ
1
v1+
α
2
λ
2
v2+…+
α
n
λ
n
vn=b
A
x
α
1
λ
1
v
1
α
2
λ
2
v
2
…
α
n
λ
n
v
n
b
Ax=
⋮⋮ ⋮v1v2…vn⋮⋮ ⋮
λ
1
α
1
⋮
λ
1
α
n
A
x
⋮
⋮
⋮
v
1
v
2
…
v
n
⋮
⋮
⋮
λ
1
α
1
⋮
λ
1
α
n
Ax=VΛα
A
x
V
Λ
α
Ax=VΛV-1x
A
x
V
Λ
V
-1
x
donde ΛΛ es la matriz con eigenvalores en la diagonal:
Λ=
λ
1
0…00
λ
2
…0⋮⋮⋱⋮00…
λ
n
Λ
λ
1
0
…
0
0
λ
2
…
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
…
λ
n
Finalmente, podemos cancelar las x
x y quedarnos con una ecuación final para
AA:
A=VΛV-1
A
V
Λ
V
-1
Para nuestra interpretación, recordemos nuestra formulas:
α=V-1x
α
V
-1
x
b=∑i
α
i
λ
i
vi
b
i
α
i
λ
i
v
i
podemos interpretar el funcionamiento de xx con
AA como:
x
1
⋮
x
n
→
α
1
⋮
α
n
→
λ
1
α
1
⋮
λ
1
α
n
→
b
1
⋮
b
n
x
1
⋮
x
n
α
1
⋮
α
n
λ
1
α
1
⋮
λ
1
α
n
b
1
⋮
b
n
Donde los tres pasos (las flechas) en la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones:
-
Transformar x
x
usando
V-1
V
-1
, nos da
αα
-
Multiplicar por Λ
Λ
-
Transformada Inversa usando V
V, lo que nos da bb
¡Este es el paradigma que usaremos para los sistemas LTI!
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"