La razón por la cual estamos recalcando la importancia de los eigenvectores es por que la acción de una matriz AA
en uno de sus eigenvectores vv es
-
Extremadamente fácil (y rápido) de calcular
Av=λv
A
v
λ
v
(1)
solo multiplicar
vv por λ
λ.
-
fácil de interpretar: AA solo
escala
vv, manteniendo su dirección constante y solo altera la longitud del vector.
Si solo cada vector fuera un eigenvector de
AA....
Claro que no todos los vectores pero para ciertas matrices (incluidas aquellas con eigenvalores λλ's), cuyos eigenvectores
generan el subespacio
ℂn
n
, lo que significa que para cada
x∈ℂn
x
n
, podemos encontrar
α
1
α
2
α
n
∈ℂ
α
1
α
2
α
n
tal que:
x=
α
1
v1+
α
2
v2+…+
α
n
vn
x
α
1
v
1
α
2
v
2
…
α
n
v
n
(2)
Dada la
ecuación 2, podemos reescribir
Ax=b
A
x
b
. Esta ecuación esta modelada en nuestro sistema LTI ilustrado posteriormente:
x=∑i
α
i
vi
x
i
α
i
v
i
b=∑i
α
i
λ
i
vi
b
i
α
i
λ
i
v
i
El sistema LTI representado anteriormente representa nuestra ecuación 1. La siguiente es una ilustración de los paso para ir de xx a
bb.
x→α=V-1x→ΛV-1x→VΛV-1x=b
x
α
V
-1
x
Λ
V
-1
x
V
Λ
V
-1
x
b
Donde los tres pasos (las flechas) de la ilustración anterior representan las siguientes tres operaciones:
-
Transformar x x
usando
V-1
V
-1
- nos da
αα
-
Acción de AA en una nueva base- una multiplicación por Λ
Λ
-
Regresar a la antigua base- transformada inversa usando la multiplicación por V V, lo que nos da bb
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"