Producto Interno 1.1 2005/07/11 14:43:00 GMT-5 2005/07/12 18:19:16 GMT-5 Michael Haag mjhaag@rice.edu Justin Romberg jrom@rice.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu dot product inner product inner products norm orthogonal projection Este modulo describe el concepto de producto interno, el cual nos da una introducción a los espacios de HIlbert. Ejemplos y propiedades de estos dos conceptos son dicutidos.

Definición: Producto Interno De seguro ya tiene una idea del producto interno, también conocido como producto punto, en n de alguno de sus cursos de matemáticas o de cómputo. Si no, definiremos el producto interno de la siguiente manera, tenemos dados algunas x n y y n Producto Interno El producto interno esta definido matemáticamente de la siguiente manera: x y y x y 0 y 1 … y n − 1 x 0 x 1 ⋮ x n − 1 i n 1 0 x i y i

Producto Interno en 2-D Si tenemos x 2 y y 2 , entonces podemos escribir el producto interno como: x y x y θ donde θ es el ángulo entre x y y.

Gráfica general de vectores y ángulos mencionados en las ecuaciones anteriores.

Geométricamente, el producto interno nos dice sobre la fuerza de x en la dirección de y. Por ejemplo, si x 1 , entonces x y y θ

Gráfica de los dos vectores del ejemplo anterior.

Las siguientes características son dadas por el producto interno: x y mide la longitud de la proyección de y sobre x. x y es el máximo (dadas x , y ) donde x y y estan en la misma dirección ( θ 0 θ 1 ). x y es cero cuando θ 0 θ 90° , es decir x y y son ortogonales.

Reglas del Producto Interno En general el producto interno en un espacio vectorial complejo es solo una función (tomando dos vectores y regresando un número complejo) que satisface ciertas condiciones: Simetria Conjugada: x y x y Escalado: α x y α x y Aditividad: x y z x z y z "Positividad": x x 0 x x 0 Ortogonal Decimos que x y y son ortogonales si: x y 0