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Normas

Module by: Michael Haag, Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Norms por Michael Haag, Justin Romberg

Summary: Este modulo definirá una norma y da unos ejemplos y sus propiedades.

Introducción

Mucho del lenguaje utilizado en esta sección será familiar para usted- debe de haber estado expuesto a los conceptos de

en el contexto de ℝn n . Vamos a tomar lo que conocemos sobre vectores y aplicarlo a funciones (señales de tiempo continuo).

Normas

La norma de un vector es un número real que representa el "tamaño" de el vector.

Ejemplo 1

En ℝ2 2 , podemos definir la norma que sea la longitud geométrica de los vectores.

Figura 1
Figura 1 (norm_f1.png)

x= x 0 x 1 T x x 0 x 1 , norma ∥x∥= x 0 2+ x 1 2 x x 0 2 x 1 2

Matemáticamente, una norma ∥·∥ · es solo una función (tomando un vector y regresando un número real) que satisface tres reglas

Para ser una norma, ∥·∥ · debe satisfacer:

  1. la norma de todo vector es positiva ∀x,x∈S:∥x∥>0 x x S x 0
  2. escalando el vector, se escala la norma por la misma cantidad ∥αx∥=|α|∥x∥ α x α x para todos los vectores x x y escalares α α
  3. Propiedad del Triángulo: ∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥ x y x y para todos los vectores x x, y y. “El “tamaño“ de la suma de dos vectores es menor o igual a la suma de sus tamaños”

Un espacio vectorial con una norma bien definida es llamado un espacio vectorial normado o espacio lineal normado.

Ejemplos

Ejemplo 2

ℝn n (ó ℂn n ), x= x 0 x 1 … x n - 1 x x 0 x 1 … x n - 1 , ∥x∥1=∑i=0n-1| x i | 1 x i 0 n 1 x i , ℝn n con esta norma es llamado ℓ 1 ( [ 0 , n - 1 ] ) ℓ 1 ( [ 0 , n - 1 ] ) .

Figura 2: Colección de todas las x∈ℝ2 x 2 con ∥x∥1=1 1 x 1
Figura 2 (norm_f2.png)

Ejemplo 3

ℝn n (ó ℂn n ), con norma ∥x∥2=∑i=0n-1| x i |212 2 x i 0 n 1 x i 2 1 2 , ℝn n es llamado ℓ 2 ( [ 0 , n - 1 ] ) ℓ 2 ( [ 0 , n - 1 ] ) (la usual "norma Euclideana").

Figura 3: Colección de todas las x∈ℝ2 x 2 with ∥x∥2=1 2 x 1
Figura 3 (norm_f3.png)

Ejemplo 4

ℝn n (or ℂn n , with norm ∥x∥∞=maxi{| x i |} x i x i is called ℓ ∞ ( [ 0 , n - 1 ] ) ℓ ∞ ( [ 0 , n - 1 ] )

Figura 4: x∈ℝ2 x 2 con ∥x∥∞=1 x 1
Figura 4 (norm_f4.png)

Espacios de Secuencias y Funciones

Podemos definir normas similares para espacios de secuencias y funciones.

Señales de tiempo discreto= secuencia de números xn=… x -2 x -1 x 0 x 1 x 2 … x n … x -2 x -1 x 0 x 1 x 2 …

  • ∥xn∥1=∑i=-∞∞|xi| 1 x n i x i , xn∈ ℓ 1 ( ℤ ) ⇒∥x∥1<∞ x n ℓ 1 ( ℤ ) 1 x
  • ∥xn∥2=∑i=-∞∞|xi|212 2 x n i x i 2 1 2 , xn∈ ℓ 2 ( ℤ ) ⇒∥x∥2<∞ x n ℓ 2 ( ℤ ) 2 x
  • ∥xn∥p=∑i=-∞∞|xi|p1p p x n i x i p 1 p , xn∈ ℓ p ( ℤ ) ⇒∥x∥p<∞ x n ℓ p ( ℤ ) p x
  • ∥xn∥∞= sup i | x [ i ] | x n sup i | x [ i ] | , xn∈ ℓ ∞ ( ℤ ) ⇒∥x∥∞<∞ x n ℓ ∞ ( ℤ ) x

Para funciones continuas en el tiempo:

  • ∥ft∥p=∫-∞∞|ft|pdt1p p f t t f t p 1 p , ft∈ L p ( ℝ ) ⇒∥ft∥p<∞ f t L p ( ℝ ) p f t
  • (En el intervalo) ∥ft∥p=∫0T|ft|pdt1p p f t t 0 T f t p 1 p , ft∈ L p ( [ 0 , T ] ) ⇒∥ft∥p<∞ f t L p ( [ 0 , T ] ) p f t

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