Espacios Vectoriales 1.1 2005/07/11 14:32:06 GMT-5 2005/07/12 18:22:30 GMT-5 Michael Haag mjhaag@rice.edu Steven Cox cox@rice.edu Justin Romberg jrom@rice.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu complex vector spaces linear function spaces real vector spaces vector vector space vector spaces Este modulo definira un espacio vectorial y algunos ejemplos utiles para el lector.

Introducción Espacio Vectorial Un espacio vectorial S es una colección de “vectores” tal que (1) si f 1 S α f 1 S para todo escalar α (donde α ó α ) y (2) si f 1 S , f 2 S , entonces f 1 f 2 S Para definir un espacio vectorial lineal abstracto, necesitamos: Un conjunto de cosas llamadas "vectores" (X ) Un conjunto de cosas llamadas "escalares" (A ) Un operador de adición de vectores ( ) Un operador de multiplicación escalar (* ) Estos operadores necesitan tener todas las siguiente propiedades. La cerradura usualmente es la mas importante para mostrar.

Espacio Vectorial Si los escalares α son reales, S es llamado un espacio vectorial real. Si los escalares α son complejos, S es llamado un espacio vectorial complejo. Si los"vectores" en S son funciones o variables continuas, muchas veces S es llamado un espacio lineal de funciones.

Propiedades Definimos un conjunto V para ser un espacio vectorial si x y y x para cada x y y en V x y z x y z para cada x , y , y z en V Hay un único "vector cero" tal que x 0 x para cada x en V Para cada x en V Hay un vector único x tal que x x 0 . 1 x x ( c 1 c 2 ) x c 1 ( c 2 x ) para cada x en V and c 1 y c 2 en ℂ . c x y c x c y para cada x y y en V y c en ℂ . c 1 c 2 x c 1 x c 2 x para cada x en V y c 1 y c 2 en ℂ .

Examples n espacio vectorial real n espacio vectorial complejo L 1 f t t f t f t es un espacio vectorial L ∞ f t f ( t )  es acotado f t es un espacio vectorial L 2 f t t f t 2 f t señales de energia finitas es un espacio vectorial L 2 0 T funciones de energia finita en un intervalo [0,T] ℓ 1 , ℓ 2 , ℓ ∞ son espacios vectoriales La colección de funciones por pedazos constantes entre los enteros y el espacio vectorial

ℝ + 2 x 0 x 1 x 0 0 x 1 0 x 0 x 1 es no un espacio vectorial. 1 1 ℝ + 2 , pero α α 0 α 1 1 ℝ + 2 D z z 1 z es no un espacio vectorial. z 1 1 D , z 2 D , pero z 1 z 2 D , z 1 z 2 2 1 El espacio vectorial es una colección de funciones, colección de secuencias, asi como una colección de vectores tradicionales (es decir una lista finita de números)