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    By: OpenCourseWare ConsortiumAs a part of collection:"Señales y Sistemas"

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Espacios Vectoriales

Module by: Michael Haag, Steven Cox, Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Vector Spaces por Michael Haag, Steven Cox, Justin Romberg

Summary: Este modulo definira un espacio vectorial y algunos ejemplos utiles para el lector.

Introducción
Definition 1: Espacio Vectorial
Un espacio vectorial S S es una colección de “vectores” tal que (1) si f 1 ∈S⇒α f 1 ∈S f 1 S α f 1 S para todo escalar αα (donde α∈ℝ α ó α∈ℂ α ) y (2) si f 1 ∈S f 1 S , f 2 ∈S f 2 S , entonces f 1 + f 2 ∈S f 1 f 2 S
Para definir un espacio vectorial lineal abstracto, necesitamos:
  • Un conjunto de cosas llamadas "vectores" (X X)
  • Un conjunto de cosas llamadas "escalares" (A A)
  • Un operador de adición de vectores (+ )
  • Un operador de multiplicación escalar (* *)
Estos operadores necesitan tener todas las siguiente propiedades. La cerradura usualmente es la mas importante para mostrar.

Espacio Vectorial

Si los escalares αα son reales, SS es llamado un espacio vectorial real.
Si los escalares αα son complejos, SS es llamado un espacio vectorial complejo.
Si los"vectores" en SS son funciones o variables continuas, muchas veces SS es llamado un espacio lineal de funciones.

Propiedades

Definimos un conjunto V V para ser un espacio vectorial si
  1. x+y=y+x x y y x para cada x x y y y en V V
  2. x+y+z=x+y+z x y z x y z para cada x x, y y, y z z en V V
  3. Hay un único "vector cero" tal que x+0=x x 0 x para cada x x en V V
  4. Para cada x x en V V Hay un vector único -x x tal que x+-x=0 x x 0 .
  5. 1x=x 1 x x
  6. ( c 1 c 2 ) x= c 1 ( c 2 x ) ( c 1 c 2 ) x c 1 ( c 2 x ) para cada x x en V V and c 1 c 1 y c 2 c 2 en ℂ ℂ.
  7. cx+y=cx+cy c x y c x c y para cada x x y y y en V V y c c en ℂ ℂ.
  8. c 1 + c 2 x= c 1 x+ c 2 x c 1 c 2 x c 1 x c 2 x para cada x x en V V y c 1 c 1 y c 2 c 2 en ℂ ℂ.

Examples

  • ℝn=espacio vectorial real n espacio vectorial real
  • ℂn=espacio vectorial complejo n espacio vectorial complejo
  • L 1 ℝ={ft|∫-∞∞|ft|dt<∞} L 1 f t t f t f t es un espacio vectorial
  • L ∞ ℝ={ft| f ( t )  es acotado } L ∞ f t f ( t )  es acotado f t es un espacio vectorial
  • L 2 ℝ={ft|∫-∞∞|ft|2dt<∞}=señales de energia finitas L 2 f t t f t 2 f t señales de energia finitas es un espacio vectorial
  • L 2 0T =funciones de energia finita en un intervalo [0,T] L 2 0 T funciones de energia finita en un intervalo [0,T]
  • ℓ 1 ℤ ℓ 1 , ℓ 2 ℤ ℓ 2 , ℓ ∞ ℤ ℓ ∞ son espacios vectoriales
  • La colección de funciones por pedazos constantes entre los enteros y el espacio vectorial
vecsp_f1.png
Figura 1
  • ℝ + 2={ x 0 x 1 | x 0 >0∧ x 1 >0} ℝ + 2 x 0 x 1 x 0 0 x 1 0 x 0 x 1 es no un espacio vectorial. 11∈ ℝ + 2 1 1 ℝ + 2 , pero ∀α,α<0:α11∉ ℝ + 2 α α 0 α 1 1 ℝ + 2
  • D=∀z,|z|≤1:z∈ℂ D z z 1 z es no un espacio vectorial. z 1 =1∈D z 1 1 D , z 2 =ⅈ∈D z 2 D , pero z 1 + z 2 ∉D z 1 z 2 D , | z 1 + z 2 |=2>1 z 1 z 2 2 1
note: El espacio vectorial es una colección de funciones, colección de secuencias, asi como una colección de vectores tradicionales (es decir una lista finita de números)

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