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Espacios de Hilbert

Module by: Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Hilbert Spaces por Justin Romberg

Summary: Este modulo provee una introducción a los conceptos de los espacios de Hilbert.

Espacios de Hilbert

Un espacio vectorial SS con un producto interno válido definido en él es llamado espacio de producto interno, que tmabién es espacio lineal normado. Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno que es completo con respecto a la norma definida usando el producto interno. Los espacios de Hilbert fueron nombrados después de que David Hilbert, convirtiera esta idea a través de sus estudios de ecuaciones integrales. Definimos nuestra norma utilizando el producto interno como:

∥x∥=<x,x> x x x (1)
Los Espacios de Hilbert serán de ayuda para estudiar y generalizar los conceptos de la expansión de Fourier, transformada de Fourier, y además son muy importantes para el estudio de mecánica quántica. Los espacios de Hilbert son estudiados en análisis funcional una rama de las matemáticas.

Ejemplos de Espacios de Hilbert

A continuación mostraremos una lista de algunos ejemplos de espacios de Hilbert . Usted puede verificar que son validos para estudios de producto interno.

  • Para ℂn n , <x,y>=yTx= y 0 ¯ y 1 ¯… y n − 1 ¯ x 0 x 1 ⋮ x n − 1 =∑i=0n-1 x i y i ¯ x y y x y 0 y 1 … y n − 1 x 0 x 1 ⋮ x n − 1 i n 1 0 x i y i
  • Espacio de funciones de energía finita compleja: L 2 ℝ L 2 <f,g>=∫-∞∞ftgt¯dt f g t f t g t
  • Espacio de secuencias sumables cuadradas: ℓ 2 ℤ ℓ 2 <x,y>=∑i=-∞∞xiyi¯ x y i x i y i

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