Un espacio vectorial SS con un
producto interno
válido definido en él es llamado espacio de producto interno,
que tmabién es espacio lineal normado. Un espacio de Hilbert es un espacio de producto interno que es completo con respecto a la norma definida usando el producto interno.
Los espacios de Hilbert fueron nombrados después de que David
Hilbert, convirtiera esta idea a través de sus estudios de ecuaciones integrales. Definimos nuestra norma utilizando el producto interno como:
Los Espacios de Hilbert serán de ayuda para estudiar y generalizar los conceptos de la expansión de Fourier, transformada de Fourier, y además son muy importantes para el estudio de mecánica quántica. Los espacios de Hilbert son estudiados en análisis funcional una rama de las matemáticas.
A continuación mostraremos una lista de algunos ejemplos de
espacios de Hilbert . Usted puede verificar que son validos para estudios de producto interno.
-
Para
Cn
n
,
〈x,y〉=yTx=(
y
0
*
y
1
*…
y
n
−
1
*
)
x
0
x
1
⋮
x
n
−
1
=∑
i
=0n−1
x
i
y
i
*
x
y
y
x
y
0
y
1
…
y
n
−
1
x
0
x
1
⋮
x
n
−
1
i
n
1
0
x
i
y
i
-
Espacio de funciones de energía finita compleja:
L
2
R
L
2
〈f,g〉=∫−∞∞ftgt*d
t
f
g
t
f
t
g
t
-
Espacio de secuencias sumables cuadradas:
ℓ
2
Z
ℓ
2
〈x,y〉=∑
i
=−∞∞xiyi*
x
y
i
x
i
y
i
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"