Espacios de Hilbert comunes A continuación veremos los cuatro Espacios de Hilbert mas comunes con los que usted tendrá que tratar para la discusión y manipulación de señales y sistemas:

n (escalares reales ) y n (escalares complejos), también llamado ℓ 2 0 n 1 x x 0 x 1 … x n - 1 Es una lista de números (secuencia finita). El producto interno para nuestros dos espacios son las siguientes: Producto interno n : x y y x i 0 n 1 x i y i Producto interno n : x y y x i 0 n 1 x i y i Modelo para: Señal de tiempo discreto en el intervalo 0 n 1 o Señal Periódica (con periodo n) de tiempo discreto. x 0 x 1 … x n - 1

f L 2 a b es una función de energía finita en a b Inner Product f g t a b f t g t Modelo para: Señal de tiempo continuo en el intervalo a b o Señal Periódica (con periodo T b a ) de tiempo continuo

x ℓ 2 es una secuencia infinita de números que son cuadrados sumables Producto interno x y i x i y i Modelo para: Señal no-periódica de tiempo discreto

f L 2 es una una función de energía finita en todo . Producto interno f g t f t g t Modelo para: Señal no-periódica de tiempo continuo

Análisis de Fourier Asociado Cada uno de estos cuatro espacios de Hilbert tiene un análisis de Fourier asociado con el. L 2 a b → Series de Fourier ℓ 2 0 n 1 → Transformada Discreta de Fourier L 2 → Transformada de Fourier ℓ 2 → Transformada Discreta de Fourier en Tiempo Pero los cuatros están basados en el mismo principio (Espacio de Hilbert). no todos los espacios normalizados son espacios de Hilbert Por ejemplo: L 1 ( ℝ ) , 1 f t f t . trate como usted pueda, de encontrar el producto interno que induce esta norma, es decir...tal que: · · such that f f t f t 2 2 1 f 2 De echo, para todo el espacio L p , L 2 es el único que es un espacio de Hilbert.

Los espacios de Hilbert son en gran medida los más agradables, si se usa o estudia la expansión de bases ortonormales entonces usted empezara a ver por que esto es cierto.