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Espacios de Hilbert comunes

Module by: Roy Ha, Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Common Hilbert Spaces por Roy Ha, Justin Romberg

Summary: Este modulo nos dará una descripción de los espacios de Hilbert mas comunes y de sus propiedades básicas.

Espacios de Hilbert comunes

A continuación veremos los cuatro Espacios de Hilbert mas comunes con los que usted tendrá que tratar para la discusión y manipulación de señales y sistemas:

ℝn n (escalares reales ) y ℂn n (escalares complejos), también llamado ℓ 2 0n-1 ℓ 2 0 n 1

x= x 0 x 1 … x n - 1 x x 0 x 1 … x n - 1 Es una lista de números (secuencia finita). El producto interno para nuestros dos espacios son las siguientes:

  • Producto interno ℝn n :
    <x,y>=yTx=∑i=0n-1 x i y i x y y x i 0 n 1 x i y i (1)
  • Producto interno ℂn n :
    <x,y>=yT¯x=∑i=0n-1 x i y i ¯ x y y x i 0 n 1 x i y i (2)

Modelo para: Señal de tiempo discreto en el intervalo 0n-1 0 n 1 o Señal Periódica (con periodo nn) de tiempo discreto. x 0 x 1 … x n - 1 x 0 x 1 … x n - 1

Figura 1
Figura 1 (fig1.png)

f∈ L 2 ab f L 2 a b es una función de energía finita en ab a b

Inner Product

<f,g>=∫abftgt¯dt f g t a b f t g t (3)
Modelo para: Señal de tiempo continuo en el intervalo ab a b o Señal Periódica (con periodo T=b-a T b a ) de tiempo continuo

x∈ ℓ 2 ℤ x ℓ 2 es una secuencia infinita de números que son cuadrados sumables

Producto interno

<x,y>=∑i=-∞∞xiyi¯ x y i x i y i (4)
Modelo para: Señal no-periódica de tiempo discreto

f∈ L 2 ℝ f L 2 es una una función de energía finita en todo ℝ.

Producto interno

<f,g>=∫-∞∞ftgt¯dt f g t f t g t (5)
Modelo para: Señal no-periódica de tiempo continuo

Análisis de Fourier Asociado

Cada uno de estos cuatro espacios de Hilbert tiene un análisis de Fourier asociado con el.

  • L 2 ab L 2 a b → Series de Fourier
  • ℓ 2 0n-1 ℓ 2 0 n 1 → Transformada Discreta de Fourier
  • L 2 ℝ L 2 → Transformada de Fourier
  • ℓ 2 ℤ ℓ 2 → Transformada Discreta de Fourier en Tiempo
Pero los cuatros están basados en el mismo principio (Espacio de Hilbert).

Nota Importante:

no todos los espacios normalizados son espacios de Hilbert
Por ejemplo: L 1 ( ℝ ) L 1 ( ℝ ) , ∥f∥1=∫|ft|dt 1 f t f t . trate como usted pueda, de encontrar el producto interno que induce esta norma, es decir...tal que: <·,·> · · such that
<f,f>=∫|ft|2dt2=∥f∥12 f f t f t 2 2 1 f 2 (6)
De echo, para todo el espacio L p ℝ L p , L 2 ℝ L 2 es el único que es un espacio de Hilbert.

Figura 2
Figura 2 (fig3.png)

Los espacios de Hilbert son en gran medida los más agradables, si se usa o estudia la expansión de bases ortonormales entonces usted empezara a ver por que esto es cierto.

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