Ya que los exponenciales complejos son eigenfunciones para los sistemas lineares invariantes en el tiempo (LTI), calcular los resultados de un sistema LTI ℋℋ dado
ⅇst
s
t
como una entrada nos lleva a una simple multiplicación, donde
Hs∈ℂ
H
s
es una constante (que depende de S). En la figura mostrada abajo tenemos un simple exponencial como entrada que da el siguiente resultado:
yt=Hsⅇst
y
t
H
s
s
t
(1)
Usando esto y el hecho que ℋℋ
es linear, calcular
yt
y
t
para las combinaciones de exponentes complejos se vuelve fácil de hacer. Esta propiedad de linealidad es descrita por las dos ecuaciones mostradas abajo – donde se muestra la entrada del sistema linear
HH en el lado izquierdo y la salida (resultado),
yt
y
t
, en el lado derecho:
-
c
1
ⅇ
s
1
t+
c
2
ⅇ
s
2
t→
c
1
H
s
1
ⅇ
s
1
t+
c
2
H
s
2
ⅇ
s
2
t
c
1
s
1
t
c
2
s
2
t
c
1
H
s
1
s
1
t
c
2
H
s
2
s
2
t
-
∑n
c
n
ⅇ
s
n
t→∑n
c
n
H
s
n
ⅇ
s
n
t
n
c
n
s
n
t
n
c
n
H
s
n
s
n
t
La acción que HH ejerce en entradas como las que se muestran en estas dos ecuaciones son fáciles de explicar:
ℋℋ escala independientemente del exponencial
ⅇ
s
n
t
s
n
t
con un numero complejo diferente
H
s
n
∈ℂ
H
s
n
. De esta manera, si podemos describir la función
ft
f
t
como la combinación de exponentes complejos esto nos permitiría:
-
Calcular el resultado de
ℋℋ fácilmente dado
ft
f
t
como una entrada (tomando en cuenta que conocemos los Eigenvalores
Hs
H
s
)
-
Interpreta como ℋℋ manipula
ft
f
t
Joseph
Fourier demostró que para una función periódica-T
ft
f
t
puede ser escrita como una combinación linear de senosoidales complejos armónicos.
ft=∑n=-∞∞
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
t
n
c
n
ω
0
n
t
(2)
Donde
ω
0
=2πT
ω
0
2
T
es la frecuencia fundamental. Para casi todas
ft
f
t
de interés practico, existe
c
n
c
n
que hace la
ecuación 2 verdadera. Si
ft
f
t
es de energía finita (
ft∈L20T
f
t
L
0
T
2
), entonces la igualdad de
ecuación 2
sostienen la idea de convergencia de energía; si
ft
f
t
es continua, entonces
ecuación 2 sostiene la idea punto por punto. También si
ft
f
t
tiene algunas condiciones intermedias (las condiciones de DIRICHLET), la ecuación
ecuación 2 se sostiene punto por punto en todas partes excepto en los puntos de descontinuidad.
Los
c
n
c
n
-son conocidos como los coeficientes de Fourier- que nos dicen “que tanto” del sinusoidal
ⅇⅈ
ω
0
nt
ω
0
n
t
esta presente en
ft
f
t
.
ecuación 2 esencialmente descompone
ft
f
t
en pedazos, los cuales son procesados fácilmente por una sistema LTI (ya que existe una Eigenfuncion para cada sistema LTI). En términos matemáticos,
ecuación 2 nos dice de un conjunto de exponenciales complejos armónicos
∀n,n∈ℤ:ⅇⅈ
ω
0
nt
n
n
ω
0
n
t
forman una base para el espacio de funciones T-periódicas continuas. Aquí se muestran algunos ejemplos que les ayudaran a pensar en una señal o función,
ft
f
t
, en términos de sus funciones exponenciales bases.
Para cada una de las funciones de abajo, descomponlas en sus partes más “simples” y encuentra sus coeficientes de Fourier. Oprima para ver la solución.
La parte mas confusa de esta problema es de encontrar la manera de representar esta función en términos de sus base,
ⅇⅈ
ω
0
nt
ω
0
n
t
. Para hacer esto, nosotros usaremos nuestro conocimiento de la relación de Euler para representar nuestra función de coseno en términos de su exponencial.
ft=12ⅇⅈ
ω
0
t+ⅇ-ⅈ
ω
0
t
f
t
1
2
ω
0
t
ω
0
t
Con esta forma y con ecuación 2, al inspeccionarla podemos ver que nuestros coeficientes son:
c
n
=12if|n|=10otherwise
c
n
1
2
n
1
0
ft=sin2
ω
0
t
f
t
2
ω
0
t
Como lo hicimos en nuestro otro ejemplo usaremos una vez más la relación de Euler para representar nuestra función de seno en términos de funciones exponenciales.
ft=12ⅈⅇⅈ
ω
0
t−ⅇ-ⅈ
ω
0
t
f
t
1
2
ω
0
t
ω
0
t
Asi que nuestros coeficientes son
c
n
=-ⅈ2ifn=-1ⅈ2ifn=10otherwise
c
n
2
n
-1
2
n
1
0
ft=3+4cos
ω
0
t+2cos2
ω
0
t
f
t
3
4
ω
0
t
2
2
ω
0
t
Una vez más utilizamos la misma técnica. Y al final nuestra función es
ft=3+412ⅇⅈ
ω
0
t+ⅇ-ⅈ
ω
0
t+212ⅇⅈ2
ω
0
t+ⅇ-ⅈ2
ω
0
t
f
t
3
4
1
2
ω
0
t
ω
0
t
2
1
2
2
ω
0
t
2
ω
0
t
De esto podemos encontrar nuestros coeficientes:
c
n
=3ifn=02if|n|=11if|n|=20otherwise
c
n
3
n
0
2
n
1
1
n
2
0
En general
ft
f
t
, los coeficientes se pueden calcular por medio de ecuación 2 al despejar por
c
n
c
n
,
lo cual requiere una pequeña manipulación algebraica (para una derivación completa de estos coeficiente por favor vea la sección titulada derivación para los coeficiente de Fourier. El resultado final da la siguiente ecuación general para estos coeficientes:
c
n
=1T∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt
c
n
1
T
t
T
0
f
t
ω
0
n
t
(3)
La secuencia de números complejos
∀n,n∈ℤ:
c
n
n
n
c
n
es una representación compleja alterna de la función
ft
f
t
. Conocer los coeficientes Fourier
c
n
c
n
es lo mismo que conocer
ft
f
t
y viceversa. Dada a una función periódica, la podemos
trasformar en su representación de series de Fourier usando
ecuación 3. Así mismo, podemos sacar la
transformada inversa a una secuencia de números complejos,
c
n
c
n
, usando
ecuación 2 para reconstruir la función
ft
f
t
.
Así como es una manera natural para representar las señales que son manipuladas por los sistemas LTI, las series de Fourier proveen una descripción par alas señales periódicas que son convenientes de muchas maneras.
Al ver las series de Fourier
ft
f
t
, podemos inferir las propiedades matemáticas de
ft
f
t
como la propiedad de suavidad, la existencia de una simetría, así como el significado físico de las frecuencias.
Aquí veremos un simple ejemplo que alo mas requiere el uso de ecuación 3 para resolver los coeficientes de Fourier. Una vez que usted entienda la formula, la solución se convierte en un problema común de calculo. Encontré los coeficientes de Fourier de la siguiente ecuación:
ft=1if|t|≤T0otherwise
f
t
1
t
T
0
Nosotros comenzaremos al reemplazar nuestra función,
ft
f
t
, en ecuación 3.
Nuestro intervalo de integración cambiara para igualar el intervalo especificado por la función
c
n
=1T∫-
T
1
T
1
1
ⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt
c
n
1
T
t
T
1
T
1
1
ω
0
n
t
Note que debemos considerar dos casos:
n=0
n
0
y
n≠0
n
0
. Para
n=0
n
0
podemos ver que después de inspeccionar el integral obtenemos.
∀n,n=0:
c
n
=2
T
1
T
n
n
0
c
n
2
T
1
T
Para
n≠0
n
0
, tenemos que tomar mas pasos para resolverlo. Empezaremos al observar el integral básico del integral que tenemos. Recordando nuestro cálculo estamos listos para integrar:
c
n
=1T1ⅈ
ω
0
nⅇ-ⅈ
ω
0
nt|t=-
T
1
T
1
c
n
1
T
1
ω
0
n
t
T
1
T
1
ω
0
n
t
Ahora evaluaremos las funciones exponenciales para los límites dado s y expandiremos nuestra ecuación a:
c
n
=1T1-ⅈ
ω
0
nⅇ-ⅈ
ω
0
n
T
1
−ⅇⅈ
ω
0
n
T
1
c
n
1
T
1
ω
0
n
ω
0
n
T
1
ω
0
n
T
1
Ahora multiplicaremos el lado derecho de nuestra ecuación por
2ⅈ2ⅈ
2
2
y distribuiremos nuestro signo negativo dentro de nuestro paréntesis, podemos utilizar la relación de Euler para simplificar nuestra expresión a:
c
n
=1T2ⅈⅈ
ω
0
nsin
ω
0
n
T
1
c
n
1
T
2
ω
0
n
ω
0
n
T
1
Ahora, recuerde que anteriormente definimos
ω
0
=2πT
ω
0
2
T
. Podemos resolver esta ecuación para T
T y sustituir en.
c
n
=2ⅈ
ω
0
ⅈ
ω
0
n2πsin
ω
0
n
T
1
c
n
2
ω
0
ω
0
n
2
ω
0
n
T
1
Finalmente, si cancelamos algunos términos llegaremos a nuestra respuesta final para los coeficientes de Fourier:
ft
f
t
:
∀n,n≠0:
c
n
=sin
ω
0
n
T
1
nπ
n
n
0
c
n
ω
0
n
T
1
n
Nuestra primera ecuación es la ecuación de síntesis, la cual construye nuestra función,
ft
f
t
, al combinar senosoldales.
ft=∑n=-∞∞
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
t
n
c
n
ω
0
n
t
(4)
Nuestra
segunda ecuación, llamada la ecuación de análisis, revela que tanto de cada sinusoidal existe en
ft
f
t
.
c
n
=1T∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt
c
n
1
T
t
T
0
f
t
ω
0
n
t
(5)
Donde hemos dicho que
ω
0
=2πT
ω
0
2
T
.
Entienda que nuestro intervalo de integración no tiene que ser
0T
0
T
nuestra ecuación de análisis. Podemos usar cualquier intervalo
aa+T
a
a
T
de tamaño TT.
Esta demostración le ayuda a sintetizar una señal al combinar los senosoidales, muy similar a la ecuación de síntesis para las series de Fourier. Vea aquí para instrucciones de como usar este demo.
Eigenfunctions of LTI Systems
Fourier Series: Another Approach
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"