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Series de Fourier: El Método de Eigenfunciones

Module by: Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Fourier Series: Eigenfunction Approach por Justin Romberg

Summary: Este modulo introduce las Series de Fourier y los coeficientes de Fourier usando los conceptos de eigenfunciones y bases. Veremos varios ejemplos de como descomponer una señal y de como encontrar sus coericientes de Fourier.

Introducción

Ya que los exponenciales complejos son eigenfunciones para los sistemas lineares invariantes en el tiempo (LTI), calcular los resultados de un sistema LTI ℋℋ dado ⅇst s t como una entrada nos lleva a una simple multiplicación, donde Hs∈ℂ H s es una constante (que depende de S). En la figura mostrada abajo tenemos un simple exponencial como entrada que da el siguiente resultado:
yt=Hsⅇst y t H s s t (1)
simpleLTIsys.png
Figura 1: Un simple sistema LTI.
Usando esto y el hecho que ℋℋ es linear, calcular yt y t para las combinaciones de exponentes complejos se vuelve fácil de hacer. Esta propiedad de linealidad es descrita por las dos ecuaciones mostradas abajo – donde se muestra la entrada del sistema linear HH en el lado izquierdo y la salida (resultado), yt y t , en el lado derecho:
  1. c 1 ⅇ s 1 t+ c 2 ⅇ s 2 t→ c 1 H s 1 ⅇ s 1 t+ c 2 H s 2 ⅇ s 2 t c 1 s 1 t c 2 s 2 t c 1 H s 1 s 1 t c 2 H s 2 s 2 t
  2. ∑n c n ⅇ s n t→∑n c n H s n ⅇ s n t n c n s n t n c n H s n s n t
La acción que HH ejerce en entradas como las que se muestran en estas dos ecuaciones son fáciles de explicar: ℋℋ escala independientemente del exponencial ⅇ s n t s n t con un numero complejo diferente H s n ∈ℂ H s n . De esta manera, si podemos describir la función ft f t como la combinación de exponentes complejos esto nos permitiría:
  • Calcular el resultado de ℋℋ fácilmente dado ft f t como una entrada (tomando en cuenta que conocemos los Eigenvalores Hs H s )
  • Interpreta como ℋℋ manipula ft f t

Series de Fourier

Joseph Fourier demostró que para una función periódica-T ft f t puede ser escrita como una combinación linear de senosoidales complejos armónicos.
ft=∑n=-∞∞ c n ⅇⅈ ω 0 nt f t n c n ω 0 n t (2)
Donde ω 0 =2πT ω 0 2 T es la frecuencia fundamental. Para casi todas ft f t de interés practico, existe c n c n que hace la ecuación 2 verdadera. Si ft f t es de energía finita ( ft∈L20T f t L 0 T 2 ), entonces la igualdad de ecuación 2 sostienen la idea de convergencia de energía; si ft f t es continua, entonces ecuación 2 sostiene la idea punto por punto. También si ft f t tiene algunas condiciones intermedias (las condiciones de DIRICHLET), la ecuación ecuación 2 se sostiene punto por punto en todas partes excepto en los puntos de descontinuidad.
Los c n c n -son conocidos como los coeficientes de Fourier- que nos dicen “que tanto” del sinusoidal ⅇⅈ ω 0 nt ω 0 n t esta presente en ft f t . ecuación 2 esencialmente descompone ft f t en pedazos, los cuales son procesados fácilmente por una sistema LTI (ya que existe una Eigenfuncion para cada sistema LTI). En términos matemáticos, ecuación 2 nos dice de un conjunto de exponenciales complejos armónicos ∀n,n∈ℤ:ⅇⅈ ω 0 nt n n ω 0 n t forman una base para el espacio de funciones T-periódicas continuas. Aquí se muestran algunos ejemplos que les ayudaran a pensar en una señal o función, ft f t , en términos de sus funciones exponenciales bases.

Ejemplos

Para cada una de las funciones de abajo, descomponlas en sus partes más “simples” y encuentra sus coeficientes de Fourier. Oprima para ver la solución.
Problem 1
ft=cos ω 0 t f t ω 0 t
[ Click for Solution 1 ]
Solution 1
La parte mas confusa de esta problema es de encontrar la manera de representar esta función en términos de sus base, ⅇⅈ ω 0 nt ω 0 n t . Para hacer esto, nosotros usaremos nuestro conocimiento de la relación de Euler para representar nuestra función de coseno en términos de su exponencial. ft=12ⅇⅈ ω 0 t+ⅇ-ⅈ ω 0 t f t 1 2 ω 0 t ω 0 t Con esta forma y con ecuación 2, al inspeccionarla podemos ver que nuestros coeficientes son: c n =12if|n|=10otherwise c n 1 2 n 1 0
[ Hide Solution 1 ]
Problem 2
ft=sin2 ω 0 t f t 2 ω 0 t
[ Click for Solution 2 ]
Solution 2
Como lo hicimos en nuestro otro ejemplo usaremos una vez más la relación de Euler para representar nuestra función de seno en términos de funciones exponenciales. ft=12ⅈⅇⅈ ω 0 t-ⅇ-ⅈ ω 0 t f t 1 2 ω 0 t ω 0 t Asi que nuestros coeficientes son c n =-ⅈ2ifn=-1ⅈ2ifn=10otherwise c n 2 n -1 2 n 1 0
[ Hide Solution 2 ]
Problem 3
ft=3+4cos ω 0 t+2cos2 ω 0 t f t 3 4 ω 0 t 2 2 ω 0 t
[ Click for Solution 3 ]
Solution 3
Una vez más utilizamos la misma técnica. Y al final nuestra función es ft=3+412ⅇⅈ ω 0 t+ⅇ-ⅈ ω 0 t+212ⅇⅈ2 ω 0 t+ⅇ-ⅈ2 ω 0 t f t 3 4 1 2 ω 0 t ω 0 t 2 1 2 2 ω 0 t 2 ω 0 t De esto podemos encontrar nuestros coeficientes: c n =3ifn=02if|n|=11if|n|=20otherwise c n 3 n 0 2 n 1 1 n 2 0
[ Hide Solution 3 ]

Coeficientes de Fourier

En general ft f t , los coeficientes se pueden calcular por medio de ecuación 2 al despejar por c n c n , lo cual requiere una pequeña manipulación algebraica (para una derivación completa de estos coeficiente por favor vea la sección titulada derivación para los coeficiente de Fourier. El resultado final da la siguiente ecuación general para estos coeficientes:
c n =1T∫0Tftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt c n 1 T t T 0 f t ω 0 n t (3)
La secuencia de números complejos ∀n,n∈ℤ: c n n n c n es una representación compleja alterna de la función ft f t . Conocer los coeficientes Fourier c n c n es lo mismo que conocer ft f t y viceversa. Dada a una función periódica, la podemos trasformar en su representación de series de Fourier usando ecuación 3. Así mismo, podemos sacar la transformada inversa a una secuencia de números complejos, c n c n , usando ecuación 2 para reconstruir la función ft f t .
Así como es una manera natural para representar las señales que son manipuladas por los sistemas LTI, las series de Fourier proveen una descripción par alas señales periódicas que son convenientes de muchas maneras. Al ver las series de Fourier ft f t , podemos inferir las propiedades matemáticas de ft f t como la propiedad de suavidad, la existencia de una simetría, así como el significado físico de las frecuencias.

Ejemplo: Usando la Ecuación del Coeficiente de Fourier

Aquí veremos un simple ejemplo que alo mas requiere el uso de ecuación 3 para resolver los coeficientes de Fourier. Una vez que usted entienda la formula, la solución se convierte en un problema común de calculo. Encontré los coeficientes de Fourier de la siguiente ecuación:
Problem 4
ft=1if|t|≤T0otherwise f t 1 t T 0
[ Click for Solution 4 ]
Solution 4
Nosotros comenzaremos al reemplazar nuestra función, ft f t , en ecuación 3. Nuestro intervalo de integración cambiara para igualar el intervalo especificado por la función c n =1T∫- T 1 T 1 1 ⅇ-ⅈ ω 0 ntdt c n 1 T t T 1 T 1 1 ω 0 n t Note que debemos considerar dos casos: n=0 n 0 y n≠0 n 0 . Para n=0 n 0 podemos ver que después de inspeccionar el integral obtenemos. ∀n,n=0: c n =2 T 1 T n n 0 c n 2 T 1 T Para n≠0 n 0 , tenemos que tomar mas pasos para resolverlo. Empezaremos al observar el integral básico del integral que tenemos. Recordando nuestro cálculo estamos listos para integrar: c n =1T1ⅈ ω 0 nⅇ-ⅈ ω 0 nt|t=- T 1 T 1 c n 1 T 1 ω 0 n t T 1 T 1 ω 0 n t Ahora evaluaremos las funciones exponenciales para los límites dado s y expandiremos nuestra ecuación a: c n =1T1-ⅈ ω 0 nⅇ-ⅈ ω 0 n T 1 -ⅇⅈ ω 0 n T 1 c n 1 T 1 ω 0 n ω 0 n T 1 ω 0 n T 1 Ahora multiplicaremos el lado derecho de nuestra ecuación por 2ⅈ2ⅈ 2 2 y distribuiremos nuestro signo negativo dentro de nuestro paréntesis, podemos utilizar la relación de Euler para simplificar nuestra expresión a: c n =1T2ⅈⅈ ω 0 nsin ω 0 n T 1 c n 1 T 2 ω 0 n ω 0 n T 1 Ahora, recuerde que anteriormente definimos ω 0 =2πT ω 0 2 T . Podemos resolver esta ecuación para T T y sustituir en. c n =2ⅈ ω 0 ⅈ ω 0 n2πsin ω 0 n T 1 c n 2 ω 0 ω 0 n 2 ω 0 n T 1 Finalmente, si cancelamos algunos términos llegaremos a nuestra respuesta final para los coeficientes de Fourier: ft f t : ∀n,n≠0: c n =sin ω 0 n T 1 nπ n n 0 c n ω 0 n T 1 n
[ Hide Solution 4 ]

Resumen: Ecuaciones de las Series de Fourier

Nuestra primera ecuación es la ecuación de síntesis, la cual construye nuestra función, ft f t , al combinar senosoldales.
Synthesis ft=∑n=-∞∞ c n ⅇⅈ ω 0 nt f t n c n ω 0 n t (4)
Nuestra segunda ecuación, llamada la ecuación de análisis, revela que tanto de cada sinusoidal existe en ft f t .
Analisis c n =1T∫0Tftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt c n 1 T t T 0 f t ω 0 n t (5)
Donde hemos dicho que ω 0 =2πT ω 0 2 T .
note: Entienda que nuestro intervalo de integración no tiene que ser 0T 0 T nuestra ecuación de análisis. Podemos usar cualquier intervalo aa+T a a T de tamaño TT.
Ejemplo 1 
Esta demostración le ayuda a sintetizar una señal al combinar los senosoidales, muy similar a la ecuación de síntesis para las series de Fourier. Vea aquí para instrucciones de como usar este demo.
LabVIEW Example: (run) (source)

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