Usted debería estar familiarizado con la existencia de la ecuación general de las series de Fourier que es la siguiente:
ft=∑n=-∞∞
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
t
n
c
n
ω
0
n
t
(1)
De lo que estamos interesados aquí es el como combinar los coeficientes de Fourier,
c
n
c
n
, dado a una función
ft
f
t
. En la siguiente explicación lo llevaremos paso por paso por la derivación de la ecuación generar para los coeficientes de Fourier dado a una función.
Para resolver la ecuación ecuación 1 para
c
n
c
n
, tenemos que hacer una pequeña manipulación algebraica. Primero que todo, tenemos que multiplicar los dos lados de ecuación 1 por
ⅇ-ⅈ
ω
0
kt
ω
0
k
t
, donde
k∈ℤ
k
.
ftⅇ-ⅈ
ω
0
kt=∑n=-∞∞
c
n
ⅇⅈ
ω
0
ntⅇ-ⅈ
ω
0
kt
f
t
ω
0
k
t
n
c
n
ω
0
n
t
ω
0
k
t
(2)
Ahora integraremos los dos lados sobre el periodo,
TT:
∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ktdt=∫0T∑n=-∞∞
c
n
ⅇⅈ
ω
0
ntⅇ-ⅈ
ω
0
ktdt
t
T
0
f
t
ω
0
k
t
t
T
0
n
c
n
ω
0
n
t
ω
0
k
t
(3)
En el lado derecho podemos intercambiar la sumatoria y el integral y sacar la constante fuera del integral.
∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ktdt=∑n=-∞∞
c
n
∫0Tⅇⅈ
ω
0
n−ktdt
t
T
0
f
t
ω
0
k
t
n
c
n
t
T
0
ω
0
n
k
t
(4)
Ahora que hemos hecho esto lo que al parecer es mas complicado, nos enfocaremos en tan solo el integral,
∫0Tⅇⅈ
ω
0
n−ktdt
t
T
0
ω
0
n
k
t
, que se encuentra en el lado derecho de la ecuación. Para este integral debemos considerar solo dos casos:
n=k
n
k
y
n≠k
n
k
. Para
n=k
n
k
tenemos:
∀n,n=k:∫0Tⅇⅈ
ω
0
n−ktdt=T
n
n
k
t
T
0
ω
0
n
k
t
T
(5)
Para
n≠k
n
k
, tenemos:
∀n,n≠k:∫0Tⅇⅈ
ω
0
n−ktdt=∫0Tcos
ω
0
n−ktdt+ⅈ∫0Tsin
ω
0
n−ktdt
n
n
k
t
T
0
ω
0
n
k
t
t
T
0
ω
0
n
k
t
t
T
0
ω
0
n
k
t
(6)
Pero
cos
ω
0
n−kt
ω
0
n
k
t
tiene periodos con números enteros para,
n−k
n
k
, entre
00 y
TT. Imagine la grafica de un coseno; por que tiene periodos con números enteros, hay áreas de igual valor debajo y arriba del eje de las ordenadas en la grafica. Este hecho es verdadero para
sin
ω
0
n−kt
ω
0
n
k
t
también. Lo que significa
∫0Tcos
ω
0
n−ktdt=0
t
T
0
ω
0
n
k
t
0
(7)
También para el integral de una función de seno. Por eso, podemos concluir lo siguiente sobre nuestro integral:
∫0Tⅇⅈ
ω
0
n−ktdt=Tifn=k0otherwise
t
T
0
ω
0
n
k
t
T
n
k
0
(8)
Regresemos a nuestra complicada ecuación,
ecuación 4,
para ver si podemos encontrar una ecuación para nuestros coeficientes de Fourier. Usando los hechos que ya hemos probado, podemos ver que única vez que la ecuación
ecuación 4tiene valores de no cero como resultado es cuando
kk y
nn son iguales:
∀n,n=k:∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt=T
c
n
n
n
k
t
T
0
f
t
ω
0
n
t
T
c
n
(9)
Finalmente nuestra ecuación general para los coeficientes de Fourier es:
c
n
=1T∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt
c
n
1
T
t
T
0
f
t
ω
0
n
t
(10)
Para encontrar los coeficientes de Fourier de una
ft
f
t
periódica:
-
Por alguna kk, multiplique
ft
f
t
por
ⅇ-ⅈ
ω
0
kt
ω
0
k
t
, saque el área por debajo de la curva (dividiendo por TT).
-
Repita el paso (1) para todo
k∈ℤ
k
.
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"