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Generalidades de las Series de Fourier

Module by: Michael Haag, Justin Romberg. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Fourier Series in a Nutshell by Michael Haag, Justin Romberg

Summary: Este modulo da un resumen de conceptos basicos de las series de Fourier y se daran herramientas para descomponer y aproximar una señal.

Introducción

El integral de convolucion es una expresión fundamental que relación la entrada y la salida de un sistema LTI. Sin embargo, tiene tres problemas:

  1. Puede ser tediosa para calcular.
  2. Ofrece una interpretación física limitada de lo que el sistema esta realmente hacienda.
  3. Da muy poca información de como diseñar sistemas para lograr ciertas funciones.
Las series de Fourier, junto la transformada de Fourier y la transformada de La Place, provee una manera de resolver estos tres puntos. El concepto de eigenfuncion (o eigenvector) es esencial para todos estos métodos. Ahora veremos como podemos re-escribir cualquier señal f⁢t f t , en términos de exponenciales complejos.

De hecho, al hacer nuestras anotaciones de señales y sistemas lineares menos matemáticas, podemos extraer paralelos entre señales y sistemas con y algebra linear.

Eigenfunciones en Sistemas LTI

La acción que ejerce un sistema LTI ℋ⁢… ℋ … en una de sus eigenfunciones es⁢t s t es

  1. Extremadamente fácil (y rápida) de calcular
    ℋ⁢s⁢t=H⁢s⁢es⁢t ℋ s t H s s t
    (1)
  2. Fácil de interpretar: ℋ⁢… ℋ … nada mas escala es⁢t s t , manteniendo una frecuencia constante.
Si tan solo todas las funciones fueran funciones de ℋ⁢… ℋ … ...

Sistemas LTI

... claro, no todas las funciones pueden ser esto pero para sistemas LTI, sus eigenfunciones expanden el espacio de funciones periódicas, lo que significa que para, (casi) todas las funciones periódicas podemos encontrar f⁢t f t we can find c n c n where n∈Z n and c i ∈C c i such that:

f⁢t=∑ n =−∞∞ c n ⁢ej⁢ ω 0 ⁢n⁢t f t n c n ω 0 n t
(2)
Dada ecuación 2, podemos re-escribir ℋ⁢t=y⁢t ℋ t y t como el siguiente sistema

Figura 1: Funciones de Transferencia modeladas como un sistema LTI.
Figura 1 (Transferfunc.png)

Donde tenemos: f⁢t=∑n c n ⁢ej⁢ ω 0 ⁢n⁢t f t n c n ω 0 n t y⁢t=∑n c n ⁢H⁢j⁢ ω 0 ⁢n⁢ej⁢ ω 0 ⁢n⁢t y t n c n H ω 0 n ω 0 n t Esta transformación de f⁢t f t en y⁢t y t también se puede ilustrar a través del proceso mostrado abajo.

f⁢t→ c n → c n ⁢H⁢j⁢ ω 0 ⁢n→y⁢t f t c n c n H ω 0 n y t
(3)
Donde los tres pasos (flecha) en nuestra ilustración de arriba y representa a las siguientes tres operaciones:
  1. Transformación con análisis(ecuación de coeficientes de Fourier): c n =1T⁢∫0Tf⁢t⁢e−(j⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t c n 1 T t T 0 f t ω 0 n t
  2. La acción de ℋℋ en las series de Fourier – iguala a una multiplicación por H⁢j⁢ ω 0 ⁢n H ω 0 n
  3. Regrese a las antiguas bases- transforme inversamente usando nuestra ecuación de síntesis que viene de las series de Fourier: y⁢t=∑ n =−∞∞ c n ⁢ej⁢ ω 0 ⁢n⁢t y t n c n ω 0 n t

Interpretación Física de las Series de Fourier

Las series de Fourier c n c n de una señal f⁢t f t , definida en ecuación 2, tiene una interpretación física muy importante. El coeficiente c n c n nos dice “que tanto” de la frecuencia ω 0 ⁢n ω 0 n existe en la señal.

Señales que cambien lentamente en el tiempo- señales suaves- tienen un gran c n c n para pequeñas nn.

Figura 2: Empezaremos con nuestra señal suave f⁢t f t en la izquierda, y despues usaremos las series de Fourier para encontrar los coeficientes de Fourier- lo cual se muestra en la figura de la derecha.
(a) (b)
Figura 2(a) (fsnut_1.png)Figura 2(b) (fsnut_2.png)

Señales que cambian rápidamente con el tiempo- señales ruidosas-tienen una gran c n c n para grandes nn.

Figura 3: Empezaremos con nuestra señal ruidosa f⁢t f t en el lado izquierdo, y usaremos las series de Fourier pada encontrar los coeficientes de Fourier- lo cual se muestra en la figura de la derecha.
(a) (b)
Figura 3(a) (fsnut_3.png)Figura 3(b) (fsnut_4.png)

Ejemplo 1: Pulso Periódico

Tenemos la siguiente función de pulso, f⁢t f t , en el intervalo −T2 T2 T 2 T 2 :

Figura 4: Señal Periodica f⁢t f t
Figura 4 (fsnut_e1.png)

Usando nuestra formula para los coeficientes de Fourier,

c n =1T⁢∫0Tf⁢t⁢e−(j⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t c n 1 T t T 0 f t ω 0 n t
(4)
Podemos calcular fácilmente nuestra c n c n . ¡Dejaremos este cálculo como ejercicio para usted! Después de resolver la ecuación para nuestra f⁢t f t , obtenemos el siguiente resultado:
c n ={2⁢ T 1 T  if  n=02⁢sin ω 0 ⁢n⁢ T 1 n⁢π  if  n≠0 c n 2 T 1 T n 0 2 ω 0 n T 1 n n 0
(5)
Para T 1 =T8 T 1 T 8 , vea la siguiente figura para observar los siguientes resultados:

Figura 5: Nuestros coeficientes de Fourier cuando T 1 =T8 T 1 T 8
Figura 5 (fsnut_e2.png)

Nuestra señal f⁢t f t es plana excepto por dos orilla ( discontinuidades). Por esta razón, c n c n alrededor de n=0 n 0 son grandes y c n c n se vuelve pequeña cuando nn se acerca al infinito.

question:

¿ Por qué c n =0 c n 0 para n=…-44816… n … -4 4 8 16 … ? (¿ qué parte de e−(j⁢ ω 0 ⁢n⁢t) ω 0 n t se encuentra sobre el pulso de estos valores de nn?)

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