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Propiedades de la Serie de Fourier

Module by: Justin Romberg, Benjamin Fite. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Fourier Series Properties by Justin Romberg, Benjamin Fite

Summary: Una introducción a las propiedades generales de las series de Fourier.

Empezaremos por refrescar su memoria sobre las ecuaciones básicas de las series de Fourier:

ft= n = c n ei ω 0 nt f t n c n ω 0 n t
(1)
c n =1T0Tfte(i ω 0 nt)d t c n 1 T t 0 T f t ω 0 n t
(2)
Deje · · describen la transformación de ft f t a los coeficientes de Fourier ft= n ,nZ: c n f t n n c n · · grafica funciones con valores complejos a secuencias de números complejos.

Linealidad

· · es una transformación linear.

Theorem 1

Si ft= c n f t c n y gt= d n g t d n . Entonces α ,αC:αft=α c n α α α f t α c n y ft+gt= c n + d n f t g t c n d n

Proof

Muy fácil, nada mas es la linealidad del integral.

ft+gt= n ,nZ:0T(ft+gt)e(i ω 0 nt)d t = n ,nZ:1T0Tfte(i ω 0 nt)d t +1T0Tgte(i ω 0 nt)d t = n ,nZ: c n + d n = c n + d n f t g t n n t 0 T f t g t ω 0 n t n n 1 T t 0 T f t ω 0 n t 1 T t 0 T g t ω 0 n t n n c n d n c n d n
(3)

Desplazamiento

Desplazamiento en el tiempo es igual a un desplazamiento angular de los coeficientes de Fourier

Theorem 2

ft t 0 =e(i ω 0 n t 0 ) c n f t t 0 ω 0 n t 0 c n si c n =| c n |ei c n c n c n c n , entonces |e(i ω 0 n t 0 ) c n |=|e(i ω 0 n t 0 )|| c n |=| c n | ω 0 n t 0 c n ω 0 n t 0 c n c n e(i ω 0 t 0 n)= c n ω 0 t 0 n ω 0 t 0 n c n ω 0 t 0 n

Proof

ft t 0 = n ,nZ:1T0Tft t 0 e(i ω 0 nt)d t = n ,nZ:1T t 0 T t 0 ft t 0 e(i ω 0 n(t t 0 ))e(i ω 0 n t 0 )d t = n ,nZ:1T t 0 T t 0 f t ~ e(i ω 0 n t ~ )e(i ω 0 n t 0 )d t = n ,nZ:e(i ω 0 n t ~ ) c n f t t 0 n n 1 T t 0 T f t t 0 ω 0 n t n n 1 T t t 0 T t 0 f t t 0 ω 0 n t t 0 ω 0 n t 0 n n 1 T t t 0 T t 0 f t ~ ω 0 n t ~ ω 0 n t 0 n n ω 0 n t ~ c n
(4)

La Relación de Parseval

0T|ft|2d t =T n =| c n |2 t 0 T f t 2 T n c n 2
(5)
La relación de Parseval nos permite calcular la engría de la señal de sus series de Fourier.

note:

Parseval nos dice que las series de Fourier grafican maps L2 0 T L 0 T 2 a l2Z l 2 .

Figura 1
Figura 1 (pars.png)

Exercise 1

¿Pará ft f t poder tener “ energía finita,” que es lo que c n c n hace cuando n n ?

Solution

| c n |2< c n 2 para ft f t tener energía finita.

Exercise 2

¿ Sí n ,|n|>0: c n =1n n n 0 c n 1 n , es fL2 0 T f L 0 T 2 ?

Solution

Si, por que | c n |2=1n2 c n 2 1 n 2 , la cual se puede sumar.

Exercise 3

Ahora , ¿sí n ,|n|>0: c n =1n n n 0 c n 1 n , es fL2 0 T f L 0 T 2 ?

Solution

No, por que | c n |2=1n c n 2 1 n , la cual no se puede sumar.

El radio de descomposición de una serie de fourier determina si ft f t tiene energía finita.

Diferenciación en el Dominio de Fourier

(ft= c n )(dftd t =in ω 0 c n ) f t c n t f t n ω 0 c n
(6)

Ya que

ft= n = c n ei ω 0 nt f t n c n ω 0 n t
(7)
entonces
dd t ft= n = c n dei ω 0 ntd t = n = c n i ω 0 nei ω 0 nt t f t n c n t ω 0 n t n c n ω 0 n ω 0 n t
(8)
Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas ft f t y acentúa las frecuencias altas. Remueve rasgos generales y acentúa áreas con variaciones básicas.

note:

Una manera común para medir matemáticamente que la suavidad de la función ft f t es el ver cuantas derivadas tienen energía finita.
Esto se hace al observar los coeficientes de fourier de una señal, específicamente el que tan rápido se descomponen cuando n n . Si ft= c n f t c n y | c n | c n tiene la forma 1nk 1 n k , entonces d m ftd t m =in ω 0 m c n t m f t n ω 0 m c n tiene la forma nmnk n m n k . Entonces para que la m th m th derivada tenga energía finita, necesitamos n |nmnk|2< n n m n k 2 por lo tanto nmnk n m n k se descompone mas rápido que 1n 1 n lo cual implica que 2k2m>1 2 k 2 m 1 o k>2m+12 k 2 m 1 2 El radio de descomposición de las series de fourier determina la suavidad.

Integración en el Dominio de Fourier

Si

ft= c n f t c n
(9)
entonces
tfτd τ =1i ω 0 n c n τ t f τ 1 ω 0 n c n
(10)

note:

Si c 0 0 c 0 0 , esta expresión no tiene ningún sentido.

Integración acentúa frecuencias bajas y atenúa frecuencias altas. Integradores muestran las cosas generales de las señales y suprimen variaciones de corto plazo (lo cual es ruido en muchos casos). Integradores son mejores que diferenciadores.

Multiplicación de Señales

Dado a una señal ft f t con coeficientes de Fourier c n c n y una señal gt g t con coeficientes d n d n , podemos definir una nueva señal como, yt y t , donde yt=ftgt y t f t g t . Descubrimos que la representación de series de Fourier de yt y t , e n e n , es tal que e n = k = c k d n - k e n k c k d n - k . Esto es para decir que la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución discreta en el dominio de la frecuencia. La prueba es la siguiente

e n =1T0Tftgte(i ω 0 nt)d t =1T0T k = c k ei ω 0 ktgte(i ω 0 nt)d t = k = c k (1T0Tgte(i ω 0 (nk)t)d t )= k = c k d n - k e n 1 T t 0 T f t g t ω 0 n t 1 T t 0 T k c k ω 0 k t g t ω 0 n t k c k 1 T t 0 T g t ω 0 n k t k c k d n - k
(11)

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