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Propiedades de la Serie de Fourier

Module by: Justin Romberg, Benjamin Fite Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Fourier Series Properties por Justin Romberg, Benjamin Fite

Summary: Una introducción a las propiedades generales de las series de Fourier.

Empezaremos por refrescar su memoria sobre las ecuaciones básicas de las series de Fourier:

ft=∑n=-∞∞ c n ⅇⅈ ω 0 nt f t n c n ω 0 n t (1)
c n =1T∫0Tftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt c n 1 T t 0 T f t ω 0 n t (2)
Deje ℱ· ℱ · describen la transformación de ft f t a los coeficientes de Fourier ℱft=∀n,n∈ℤ: c n ℱ f t n n c n ℱ· ℱ · grafica funciones con valores complejos a secuencias de números complejos.

Linealidad

ℱ· ℱ · es una transformación linear.

theorem 1

Si ℱft= c n ℱ f t c n y ℱgt= d n ℱ g t d n . Entonces ∀α,α∈ℂ:ℱαft=α c n α α ℱ α f t α c n y ℱft+gt= c n + d n ℱ f t g t c n d n

Proof

Muy fácil, nada mas es la linealidad del integral.

ℱft+gt=∀n,n∈ℤ:∫0Tft+gtⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=∀n,n∈ℤ:1T∫0Tftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt+1T∫0Tgtⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=∀n,n∈ℤ: c n + d n = c n + d n ℱ f t g t n n t 0 T f t g t ω 0 n t n n 1 T t 0 T f t ω 0 n t 1 T t 0 T g t ω 0 n t n n c n d n c n d n (3)

Desplazamiento

Desplazamiento en el tiempo es igual a un desplazamiento angular de los coeficientes de Fourier

theorem 2

ℱft- t 0 =ⅇ-ⅈ ω 0 n t 0 c n ℱ f t t 0 ω 0 n t 0 c n si c n =| c n |ⅇⅈ∠ c n c n c n ∠ c n , entonces |ⅇ-ⅈ ω 0 n t 0 c n |=|ⅇ-ⅈ ω 0 n t 0 || c n |=| c n | ω 0 n t 0 c n ω 0 n t 0 c n c n ∠ⅇ-ⅈ ω 0 t 0 n=∠ c n - ω 0 t 0 n ∠ ω 0 t 0 n ∠ c n ω 0 t 0 n

Proof

ℱft- t 0 =∀n,n∈ℤ:1T∫0Tft- t 0 ⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=∀n,n∈ℤ:1T∫- t 0 T- t 0 ft- t 0 ⅇ-ⅈ ω 0 nt- t 0 ⅇ-ⅈ ω 0 n t 0 dt=∀n,n∈ℤ:1T∫- t 0 T- t 0 f t ~ ⅇ-ⅈ ω 0 n t ~ ⅇ-ⅈ ω 0 n t 0 dt=∀n,n∈ℤ:ⅇ-ⅈ ω 0 n t ~ c n ℱ f t t 0 n n 1 T t 0 T f t t 0 ω 0 n t n n 1 T t t 0 T t 0 f t t 0 ω 0 n t t 0 ω 0 n t 0 n n 1 T t t 0 T t 0 f t ~ ω 0 n t ~ ω 0 n t 0 n n ω 0 n t ~ c n (4)

La Relación de Parseval

∫0T|ft|2dt=T∑n=-∞∞| c n |2 t 0 T f t 2 T n c n 2 (5)
La relación de Parseval nos permite calcular la engría de la señal de sus series de Fourier.

note:

Parseval nos dice que las series de Fourier grafican maps L20T L 0 T 2 a l2ℤ l 2 .

Figura 1
Figura 1 (pars.png)

Exercise 1

¿Pará ft f t poder tener “ energía finita,” que es lo que c n c n hace cuando n→∞ n ?

Solution 1

| c n |2<∞ c n 2 para ft f t tener energía finita.

Exercise 2

¿ Sí ∀n,|n|>0: c n =1n n n 0 c n 1 n , es f∈L20T f L 0 T 2 ?

Solution 2

Si, por que | c n |2=1n2 c n 2 1 n 2 , la cual se puede sumar.

Exercise 3

Ahora , ¿sí ∀n,|n|>0: c n =1n n n 0 c n 1 n , es f∈L20T f L 0 T 2 ?

Solution 3

No, por que | c n |2=1n c n 2 1 n , la cual no se puede sumar.

El radio de descomposición de una serie de fourier determina si ft f t tiene energía finita.

Diferenciación en el Dominio de Fourier

ℱft= c n ⇒ℱddtft=ⅈn ω 0 c n ℱ f t c n ℱ t f t n ω 0 c n (6)

Ya que

ft=∑n=-∞∞ c n ⅇⅈ ω 0 nt f t n c n ω 0 n t (7)
entonces
ddtft=∑n=-∞∞ c n ddtⅇⅈ ω 0 nt=∑n=-∞∞ c n ⅈ ω 0 nⅇⅈ ω 0 nt t f t n c n t ω 0 n t n c n ω 0 n ω 0 n t (8)
Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas ft f t y acentúa las frecuencias altas. Remueve rasgos generales y acentúa áreas con variaciones básicas.

note:

Una manera común para medir matemáticamente que la suavidad de la función ft f t es el ver cuantas derivadas tienen energía finita.
Esto se hace al observar los coeficientes de fourier de una señal, específicamente el que tan rápido se descomponen cuando n→∞ n . Si ℱft= c n ℱ f t c n y | c n | c n tiene la forma 1nk 1 n k , entonces ℱdmdtmft=ⅈn ω 0 m c n ℱ t m f t n ω 0 m c n tiene la forma nmnk n m n k . Entonces para que la m th m th derivada tenga energía finita, necesitamos ∑|nmnk|2<∞ n n m n k 2 por lo tanto nmnk n m n k se descompone mas rápido que 1n 1 n lo cual implica que 2k-2m>1 2 k 2 m 1 o k>2m+12 k 2 m 1 2 El radio de descomposición de las series de fourier determina la suavidad.

Integración en el Dominio de Fourier

Si

ℱft= c n ℱ f t c n (9)
entonces
ℱ∫-∞tfτdτ=1ⅈ ω 0 n c n ℱ τ t f τ 1 ω 0 n c n (10)

note:

Si c 0 ≠0 c 0 0 , esta expresión no tiene ningún sentido.

Integración acentúa frecuencias bajas y atenúa frecuencias altas. Integradores muestran las cosas generales de las señales y suprimen variaciones de corto plazo (lo cual es ruido en muchos casos). Integradores son mejores que diferenciadores.

Multiplicación de Señales

Dado a una señal ft f t con coeficientes de Fourier c n c n y una señal gt g t con coeficientes d n d n , podemos definir una nueva señal como, yt y t , donde yt=ftgt y t f t g t . Descubrimos que la representación de series de Fourier de yt y t , e n e n , es tal que e n =∑k=-∞∞ c k d n - k e n k c k d n - k . Esto es para decir que la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución discreta en el dominio de la frecuencia. La prueba es la siguiente

e n =1T∫0Tftgtⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=1T∫0T∑k=-∞∞ c k ⅇⅈ ω 0 ktgtⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=∑k=-∞∞ c k 1T∫0Tgtⅇ-ⅈ ω 0 n-ktdt=∑k=-∞∞ c k d n - k e n 1 T t 0 T f t g t ω 0 n t 1 T t 0 T k c k ω 0 k t g t ω 0 n t k c k 1 T t 0 T g t ω 0 n k t k c k d n - k (11)

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