Empezaremos por refrescar su memoria sobre las ecuaciones básicas de las series de Fourier:
ft=∑n=-∞∞
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
t
n
c
n
ω
0
n
t
(1)
c
n
=1T∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt
c
n
1
T
t
0
T
f
t
ω
0
n
t
(2)
Deje
ℱ·
ℱ
·
describen la transformación de
ft
f
t
a los coeficientes de Fourier
ℱft=∀n,n∈ℤ:
c
n
ℱ
f
t
n
n
c
n
ℱ·
ℱ
·
grafica funciones con valores complejos a secuencias de
números complejos.
ℱ·
ℱ
·
es una transformación linear.
Si
ℱft=
c
n
ℱ
f
t
c
n
y
ℱgt=
d
n
ℱ
g
t
d
n
.
Entonces
∀α,α∈ℂ:ℱαft=α
c
n
α
α
ℱ
α
f
t
α
c
n
y
ℱft+gt=
c
n
+
d
n
ℱ
f
t
g
t
c
n
d
n
Muy fácil, nada mas es la linealidad del integral.
ℱft+gt=∀n,n∈ℤ:∫0Tft+gtⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt=∀n,n∈ℤ:1T∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt+1T∫0Tgtⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt=∀n,n∈ℤ:
c
n
+
d
n
=
c
n
+
d
n
ℱ
f
t
g
t
n
n
t
0
T
f
t
g
t
ω
0
n
t
n
n
1
T
t
0
T
f
t
ω
0
n
t
1
T
t
0
T
g
t
ω
0
n
t
n
n
c
n
d
n
c
n
d
n
(3)
Desplazamiento en el tiempo es igual a un desplazamiento angular de los coeficientes de Fourier
ℱft-
t
0
=ⅇ-ⅈ
ω
0
n
t
0
c
n
ℱ
f
t
t
0
ω
0
n
t
0
c
n
si
c
n
=|
c
n
|ⅇⅈ∠
c
n
c
n
c
n
∠
c
n
,
entonces
|ⅇ-ⅈ
ω
0
n
t
0
c
n
|=|ⅇ-ⅈ
ω
0
n
t
0
||
c
n
|=|
c
n
|
ω
0
n
t
0
c
n
ω
0
n
t
0
c
n
c
n
∠ⅇ-ⅈ
ω
0
t
0
n=∠
c
n
-
ω
0
t
0
n
∠
ω
0
t
0
n
∠
c
n
ω
0
t
0
n
ℱft-
t
0
=∀n,n∈ℤ:1T∫0Tft-
t
0
ⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt=∀n,n∈ℤ:1T∫-
t
0
T-
t
0
ft-
t
0
ⅇ-ⅈ
ω
0
nt-
t
0
ⅇ-ⅈ
ω
0
n
t
0
dt=∀n,n∈ℤ:1T∫-
t
0
T-
t
0
f
t
~
ⅇ-ⅈ
ω
0
n
t
~
ⅇ-ⅈ
ω
0
n
t
0
dt=∀n,n∈ℤ:ⅇ-ⅈ
ω
0
n
t
~
c
n
ℱ
f
t
t
0
n
n
1
T
t
0
T
f
t
t
0
ω
0
n
t
n
n
1
T
t
t
0
T
t
0
f
t
t
0
ω
0
n
t
t
0
ω
0
n
t
0
n
n
1
T
t
t
0
T
t
0
f
t
~
ω
0
n
t
~
ω
0
n
t
0
n
n
ω
0
n
t
~
c
n
(4)
∫0T|ft|2dt=T∑n=-∞∞|
c
n
|2
t
0
T
f
t
2
T
n
c
n
2
(5)
La relación de Parseval nos permite calcular la engría de la señal de sus series de Fourier.
Parseval nos dice que las series de Fourier grafican
maps
L20T
L
0
T
2
a
l2ℤ
l
2
.
¿Pará
ft
f
t
poder tener “ energía finita,” que es lo que
c
n
c
n
hace cuando
n→∞
n
?
|
c
n
|2<∞
c
n
2
para
ft
f
t
tener energía finita.
¿ Sí
∀n,|n|>0:
c
n
=1n
n
n
0
c
n
1
n
,
es
f∈L20T
f
L
0
T
2
?
Si, por que
|
c
n
|2=1n2
c
n
2
1
n
2
,
la cual se puede sumar.
Ahora , ¿sí
∀n,|n|>0:
c
n
=1n
n
n
0
c
n
1
n
,
es
f∈L20T
f
L
0
T
2
?
No, por que
|
c
n
|2=1n
c
n
2
1
n
,
la cual no se puede sumar.
El radio de descomposición de una serie de fourier determina si
ft
f
t
tiene energía finita.
ℱft=
c
n
⇒ℱddtft=ⅈn
ω
0
c
n
ℱ
f
t
c
n
ℱ
t
f
t
n
ω
0
c
n
(6)
Ya que
ft=∑n=-∞∞
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
t
n
c
n
ω
0
n
t
(7)
entonces
ddtft=∑n=-∞∞
c
n
ddtⅇⅈ
ω
0
nt=∑n=-∞∞
c
n
ⅈ
ω
0
nⅇⅈ
ω
0
nt
t
f
t
n
c
n
t
ω
0
n
t
n
c
n
ω
0
n
ω
0
n
t
(8)
Un diferenciador
atenúa las frecuencias bajas
ft
f
t
y
acentúa las frecuencias altas. Remueve rasgos generales y acentúa áreas con variaciones básicas.
Una manera común para medir matemáticamente que la suavidad de la función
ft
f
t
es el ver cuantas derivadas tienen energía finita.
Esto se hace al observar los coeficientes de fourier de una señal, específicamente el que tan rápido se
descomponen cuando
n→∞
n
.
Si
ℱft=
c
n
ℱ
f
t
c
n
y
|
c
n
|
c
n
tiene la forma
1nk
1
n
k
,
entonces
ℱdmdtmft=ⅈn
ω
0
m
c
n
ℱ
t
m
f
t
n
ω
0
m
c
n
tiene la forma
nmnk
n
m
n
k
.
Entonces para que la
m
th
m
th
derivada tenga energía finita, necesitamos
∑|nmnk|2<∞
n
n
m
n
k
2
por lo tanto
nmnk
n
m
n
k
se descompone mas
rápido que
1n
1
n
lo cual implica que
2k-2m>1
2
k
2
m
1
o
k>2m+12
k
2
m
1
2
El radio de descomposición de las series de fourier determina la suavidad.
Si
ℱft=
c
n
ℱ
f
t
c
n
(9)
entonces
ℱ∫-∞tfτdτ=1ⅈ
ω
0
n
c
n
ℱ
τ
t
f
τ
1
ω
0
n
c
n
(10)
Si
c
0
≠0
c
0
0
, esta expresión no tiene ningún sentido.
Integración acentúa frecuencias bajas y atenúa frecuencias altas. Integradores muestran las cosas generales de las señales y suprimen variaciones de corto plazo (lo cual es ruido en muchos casos). Integradores son mejores que diferenciadores.
Dado a una señal
ft
f
t
con coeficientes de Fourier
c
n
c
n
y una señal
gt
g
t
con coeficientes
d
n
d
n
,
podemos definir una nueva señal como,
yt
y
t
,
donde
yt=ftgt
y
t
f
t
g
t
.
Descubrimos que la representación de series de Fourier de
yt
y
t
,
e
n
e
n
,
es tal que
e
n
=∑k=-∞∞
c
k
d
n
-
k
e
n
k
c
k
d
n
-
k
.
Esto es para decir que la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución discreta en el dominio de la frecuencia. La prueba es la siguiente
e
n
=1T∫0Tftgtⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt=1T∫0T∑k=-∞∞
c
k
ⅇⅈ
ω
0
ktgtⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt=∑k=-∞∞
c
k
1T∫0Tgtⅇ-ⅈ
ω
0
n-ktdt=∑k=-∞∞
c
k
d
n
-
k
e
n
1
T
t
0
T
f
t
g
t
ω
0
n
t
1
T
t
0
T
k
c
k
ω
0
k
t
g
t
ω
0
n
t
k
c
k
1
T
t
0
T
g
t
ω
0
n
k
t
k
c
k
d
n
-
k
(11)