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Propiedades de la Serie de Fourier

Module by: Justin Romberg, Benjamin Fite. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Fourier Series Properties by Justin Romberg, Benjamin Fite

Summary: Una introducción a las propiedades generales de las series de Fourier.

Empezaremos por refrescar su memoria sobre las ecuaciones básicas de las series de Fourier:

f⁢t=∑ n =−∞∞ c n ⁢ei⁢ ω 0 ⁢n⁢t f t n c n ω 0 n t
(1)
c n =1T⁢∫0Tf⁢t⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t c n 1 T t 0 T f t ω 0 n t
(2)
Deje ℱ⁢· ℱ · describen la transformación de f⁢t f t a los coeficientes de Fourier ℱ⁢f⁢t=∀ n ,n∈Z: c n ℱ f t n n c n ℱ⁢· ℱ · grafica funciones con valores complejos a secuencias de números complejos.

Linealidad

ℱ⁢· ℱ · es una transformación linear.

Theorem 1

Si ℱ⁢f⁢t= c n ℱ f t c n y ℱ⁢g⁢t= d n ℱ g t d n . Entonces ∀ α ,α∈C:ℱ⁢α⁢f⁢t=α⁢ c n α α ℱ α f t α c n y ℱ⁢f⁢t+g⁢t= c n + d n ℱ f t g t c n d n

Proof

Muy fácil, nada mas es la linealidad del integral.

ℱ⁢f⁢t+g⁢t=∀ n ,n∈Z:∫0T(f⁢t+g⁢t)⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t =∀ n ,n∈Z:1T⁢∫0Tf⁢t⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t +1T⁢∫0Tg⁢t⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t =∀ n ,n∈Z: c n + d n = c n + d n ℱ f t g t n n t 0 T f t g t ω 0 n t n n 1 T t 0 T f t ω 0 n t 1 T t 0 T g t ω 0 n t n n c n d n c n d n
(3)

Desplazamiento

Desplazamiento en el tiempo es igual a un desplazamiento angular de los coeficientes de Fourier

Theorem 2

ℱ⁢f⁢t− t 0 =e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢ t 0 )⁢ c n ℱ f t t 0 ω 0 n t 0 c n si c n =| c n |⁢ei⁢∠⁢ c n c n c n ∠ c n , entonces |e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢ t 0 )⁢ c n |=|e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢ t 0 )|⁢| c n |=| c n | ω 0 n t 0 c n ω 0 n t 0 c n c n ∠⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢ t 0 ⁢n)=∠⁢ c n − ω 0 ⁢ t 0 ⁢n ∠ ω 0 t 0 n ∠ c n ω 0 t 0 n

Proof

ℱ⁢f⁢t− t 0 =∀ n ,n∈Z:1T⁢∫0Tf⁢t− t 0 ⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t =∀ n ,n∈Z:1T⁢∫− t 0 T− t 0 f⁢t− t 0 ⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢(t− t 0 ))⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢ t 0 )d t =∀ n ,n∈Z:1T⁢∫− t 0 T− t 0 f⁢ t ~ ⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢ t ~ )⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢ t 0 )d t =∀ n ,n∈Z:e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢ t ~ )⁢ c n ℱ f t t 0 n n 1 T t 0 T f t t 0 ω 0 n t n n 1 T t t 0 T t 0 f t t 0 ω 0 n t t 0 ω 0 n t 0 n n 1 T t t 0 T t 0 f t ~ ω 0 n t ~ ω 0 n t 0 n n ω 0 n t ~ c n
(4)

La Relación de Parseval

∫0T|f⁢t|2d t =T⁢∑ n =−∞∞| c n |2 t 0 T f t 2 T n c n 2
(5)
La relación de Parseval nos permite calcular la engría de la señal de sus series de Fourier.

note:

Parseval nos dice que las series de Fourier grafican maps L2 0 T L 0 T 2 a l2Z l 2 .

Figura 1
Figura 1 (pars.png)

Exercise 1

¿Pará f⁢t f t poder tener “ energía finita,” que es lo que c n c n hace cuando n→∞ n ?

Solution

| c n |2<∞ c n 2 para f⁢t f t tener energía finita.

Exercise 2

¿ Sí ∀ n ,|n|>0: c n =1n n n 0 c n 1 n , es f∈L2 0 T f L 0 T 2 ?

Solution

Si, por que | c n |2=1n2 c n 2 1 n 2 , la cual se puede sumar.

Exercise 3

Ahora , ¿sí ∀ n ,|n|>0: c n =1n n n 0 c n 1 n , es f∈L2 0 T f L 0 T 2 ?

Solution

No, por que | c n |2=1n c n 2 1 n , la cual no se puede sumar.

El radio de descomposición de una serie de fourier determina si f⁢t f t tiene energía finita.

Diferenciación en el Dominio de Fourier

(ℱ⁢f⁢t= c n )⇒(ℱ⁢df⁢td t =i⁢n⁢ ω 0 ⁢ c n ) ℱ f t c n ℱ t f t n ω 0 c n
(6)

Ya que

f⁢t=∑ n =−∞∞ c n ⁢ei⁢ ω 0 ⁢n⁢t f t n c n ω 0 n t
(7)
entonces
dd t f⁢t=∑ n =−∞∞ c n ⁢dei⁢ ω 0 ⁢n⁢td t =∑ n =−∞∞ c n ⁢i⁢ ω 0 ⁢n⁢ei⁢ ω 0 ⁢n⁢t t f t n c n t ω 0 n t n c n ω 0 n ω 0 n t
(8)
Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas f⁢t f t y acentúa las frecuencias altas. Remueve rasgos generales y acentúa áreas con variaciones básicas.

note:

Una manera común para medir matemáticamente que la suavidad de la función f⁢t f t es el ver cuantas derivadas tienen energía finita.
Esto se hace al observar los coeficientes de fourier de una señal, específicamente el que tan rápido se descomponen cuando n→∞ n . Si ℱ⁢f⁢t= c n ℱ f t c n y | c n | c n tiene la forma 1nk 1 n k , entonces ℱ⁢d m f⁢td t m =i⁢n⁢ ω 0 m⁢ c n ℱ t m f t n ω 0 m c n tiene la forma nmnk n m n k . Entonces para que la m th m th derivada tenga energía finita, necesitamos ∑ n |nmnk|2<∞ n n m n k 2 por lo tanto nmnk n m n k se descompone mas rápido que 1n 1 n lo cual implica que 2⁢k−2⁢m>1 2 k 2 m 1 o k>2⁢m+12 k 2 m 1 2 El radio de descomposición de las series de fourier determina la suavidad.

Integración en el Dominio de Fourier

Si

ℱ⁢f⁢t= c n ℱ f t c n
(9)
entonces
ℱ⁢∫−∞tf⁢τd τ =1i⁢ ω 0 ⁢n⁢ c n ℱ τ t f τ 1 ω 0 n c n
(10)

note:

Si c 0 ≠0 c 0 0 , esta expresión no tiene ningún sentido.

Integración acentúa frecuencias bajas y atenúa frecuencias altas. Integradores muestran las cosas generales de las señales y suprimen variaciones de corto plazo (lo cual es ruido en muchos casos). Integradores son mejores que diferenciadores.

Multiplicación de Señales

Dado a una señal f⁢t f t con coeficientes de Fourier c n c n y una señal g⁢t g t con coeficientes d n d n , podemos definir una nueva señal como, y⁢t y t , donde y⁢t=f⁢t⁢g⁢t y t f t g t . Descubrimos que la representación de series de Fourier de y⁢t y t , e n e n , es tal que e n =∑ k =−∞∞ c k ⁢ d n - k e n k c k d n - k . Esto es para decir que la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución discreta en el dominio de la frecuencia. La prueba es la siguiente

e n =1T⁢∫0Tf⁢t⁢g⁢t⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t =1T⁢∫0T∑ k =−∞∞ c k ⁢ei⁢ ω 0 ⁢k⁢t⁢g⁢t⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢n⁢t)d t =∑ k =−∞∞ c k ⁢(1T⁢∫0Tg⁢t⁢e−(i⁢ ω 0 ⁢(n−k)⁢t)d t )=∑ k =−∞∞ c k ⁢ d n - k e n 1 T t 0 T f t g t ω 0 n t 1 T t 0 T k c k ω 0 k t g t ω 0 n t k c k 1 T t 0 T g t ω 0 n k t k c k d n - k
(11)

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