Señales reales tienen una serie de fourier con un conjugado simétrico.
Si
ft
f
t
es real eso implica que
ft=ft¯
f
t
f
t
(
ft¯
f
t
es el complejo conjugado de
ft
f
t
),
entonces
c
n
=
c
-
n
¯
c
n
c
-
n
lo cual implica que
ℜ
c
n
=ℜ
c
-
n
c
n
c
-
n
,
Por ejemplo, la parte real de
c
n
c
n
es par, y
ℑ
c
n
=−ℑ
c
-
n
c
n
c
-
n
,
Por ejemplo, tla parte imaginaria de
c
n
c
n
es impar. Vea figura 1. Lo que tambien implica que
|
c
n
|=|
c
-
n
|
c
n
c
-
n
,
Por ejemplo, que la magnitud es par, y que la
∠
c
n
=(∠−
c
-
n
)
∠
c
n
∠
c
-
n
,
Por ejemplo, el ángulo es impar.
c
-
n
=1T∫0Tftei
ω
0
ntd
t
=∀
t
,ft=ft¯:1T∫0Tft¯e−(i
ω
0
nt)d
t
¯=1T∫0Tfte−(i
ω
0
nt)d
t
¯=
c
n
¯
c
-
n
1
T
t
0
T
f
t
ω
0
n
t
t
f
t
f
t
1
T
t
0
T
f
t
ω
0
n
t
1
T
t
0
T
f
t
ω
0
n
t
c
n
(1)
Las señales reales y pares tienen series de fourier que son pares y reales.
If
ft=ft¯
f
t
f
t
y
ft=f−t
f
t
f
t
,
Por ejemplo, las señal es real y par, entonces
entonces
c
n
=
c
-
n
c
n
c
-
n
y
c
n
=
c
n
¯
c
n
c
n
.
c
n
=1T∫−T2T2fte−(i
ω
0
nt)d
t
=1T∫−T20fte−(i
ω
0
nt)d
t
+1T∫0T2fte−(i
ω
0
nt)d
t
=1T∫0T2f−tei
ω
0
ntd
t
+1T∫0T2fte−(i
ω
0
nt)d
t
=2T∫0T2ftcos
ω
0
ntd
t
c
n
1
T
t
T
2
T
2
f
t
ω
0
n
t
1
T
t
T
2
0
f
t
ω
0
n
t
1
T
t
0
T
2
f
t
ω
0
n
t
1
T
t
0
T
2
f
t
ω
0
n
t
1
T
t
0
T
2
f
t
ω
0
n
t
2
T
t
0
T
2
f
t
ω
0
n
t
(2)
ft
f
t
y
cos
ω
0
nt
ω
0
n
t
son reales lo cual implica que
c
n
c
n
es real. También
cos
ω
0
nt=cos−(
ω
0
nt)
ω
0
n
t
ω
0
n
t
entonces
c
n
=
c
-
n
c
n
c
-
n
.
Es tán fácil demostrar que
ft=2∑
n
=0∞
c
n
cos
ω
0
nt
f
t
2
n
0
c
n
ω
0
n
t
ya que
ft
f
t
,
c
n
c
n
,
y
cos
ω
0
nt
ω
0
n
t
son reales y pares.
Señales reales e impares tienen series de fourier que son impares y completamente imaginarias.
Si
ft=−f−t
f
t
f
t
y
ft=ft¯
f
t
f
t
,
Por ejemplo, la señal es real y impar,
entonces
c
n
=−
c
-
n
c
n
c
-
n
y
c
n
=−
c
n
¯
c
n
c
n
,
Por ejemplo,
c
n
c
n
es impar y completamente imaginaria.
Si
ft
f
t
es impar, podemos expenderlos en términos de
sin
ω
0
nt
ω
0
n
t
:
ft=∑
n
=1∞2
c
n
sin
ω
0
nt
f
t
n
1
2
c
n
ω
0
n
t
Podemos encontrar
f
e
t
f
e
t
,
una función par, y
f
o
t
f
o
t
,
una función impar, por que
ft=
f
e
t+
f
o
t
f
t
f
e
t
f
o
t
(3)
lo cual implica, que para cualquier
ft
f
t
,
podemos encontrar
a
n
a
n
y
b
n
b
n
que da
ft=∑
n
=0∞
a
n
cos
ω
0
nt+∑
n
=1∞
b
n
sin
ω
0
nt
f
t
n
0
a
n
ω
0
n
t
n
1
b
n
ω
0
n
t
(4)
ft
f
t
es real e impar.
c
n
={4Aiπ2n2 if n=…-11-7-3159…−4Aiπ2n2 if n=…-9-5-13711…0 if n=…-4-2024…
c
n
4
A
2
n
2
n
…
-11
-7
-3
1
5
9
…
4
A
2
n
2
n
…
-9
-5
-1
3
7
11
…
0
n
…
-4
-2
0
2
4
…
¿Es
c
n
=−
c
-
n
c
n
c
-
n
?
Usualmente podemos juntar información sobre la suavidad de una señal al examinar los coeficientes de Fourier.
Hecha un vistazo a los ejemplos anteriores. Las funciones del pulso y sawtooth
no son continuas y sus series de Fourier disminuyen como
1n
1
n
.
La función triangular es continua, pero no es diferenciable, y sus series de Fourier disminuyen como
1n2
1
n
2
.
Las siguientes 3 propiedades nos darán una mejor idea de esto.
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"