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Propiedades de Simetría de las Series de Fourier

Module by: Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Symmetry Properties of the Fourier Series por Justin Romberg

Summary: Este modulo ve las diferentes propiedades de simetria de las series de fourier y de sus coefficientes.

Propiedades de Simetría

Señales Reales

Señales reales tienen una serie de fourier con un conjugado simétrico.

theorem 1

Si ft f t es real eso implica que ft=ft¯ f t f t ( ft¯ f t es el complejo conjugado de ft f t ), entonces c n = c - n ¯ c n c - n lo cual implica que ℜ c n =ℜ c - n c n c - n , Por ejemplo, la parte real de c n c n es par, y ℑ c n =-ℑ c - n c n c - n , Por ejemplo, tla parte imaginaria de c n c n es impar. Vea figura 1. Lo que tambien implica que | c n |=| c - n | c n c - n , Por ejemplo, que la magnitud es par, y que la ∠ c n =∠- c - n ∠ c n ∠ c - n , Por ejemplo, el ángulo es impar.

Proof

c - n =1T∫0Tftⅇⅈ ω 0 ntdt=∀t,ft=ft¯:1T∫0Tft¯ⅇ-ⅈ ω 0 ntdt¯=1T∫0Tftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt¯= c n ¯ c - n 1 T t 0 T f t ω 0 n t t f t f t 1 T t 0 T f t ω 0 n t 1 T t 0 T f t ω 0 n t c n (1)

Figura 1: ℜ c n =ℜ c - n c n c - n , y ℑ c n =-ℑ c - n c n c - n .
Subfigure 1.1
Subfigure 1.1 (m10838ae.png)
Subfigure 1.2
Subfigure 1.2 (m10838ce.png)
Figura 2: | c n |=| c - n | c n c - n , y ∠ c n =∠- c - n ∠ c n ∠ c - n .
Subfigure 2.1
Subfigure 2.1 (m10838be.png)
Subfigure 2.2
Subfigure 2.2 (m10838de.png)

Señales Reales y Pares

Las señales reales y pares tienen series de fourier que son pares y reales.

theorem 2

If ft=ft¯ f t f t y ft=f-t f t f t , Por ejemplo, las señal es real y par, entonces entonces c n = c - n c n c - n y c n = c n ¯ c n c n .

Proof

c n =1T∫-T2T2ftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=1T∫-T20ftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt+1T∫0T2ftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=1T∫0T2f-tⅇⅈ ω 0 ntdt+1T∫0T2ftⅇ-ⅈ ω 0 ntdt=2T∫0T2ftcos ω 0 ntdt c n 1 T t T 2 T 2 f t ω 0 n t 1 T t T 2 0 f t ω 0 n t 1 T t 0 T 2 f t ω 0 n t 1 T t 0 T 2 f t ω 0 n t 1 T t 0 T 2 f t ω 0 n t 2 T t 0 T 2 f t ω 0 n t (2)
ft f t y cos ω 0 nt ω 0 n t son reales lo cual implica que c n c n es real. También cos ω 0 nt=cos- ω 0 nt ω 0 n t ω 0 n t entonces c n = c - n c n c - n . Es tán fácil demostrar que ft=2∑n=0∞ c n cos ω 0 nt f t 2 n 0 c n ω 0 n t ya que ft f t , c n c n , y cos ω 0 nt ω 0 n t son reales y pares.

Señales Reales e Impares

Señales reales e impares tienen series de fourier que son impares y completamente imaginarias.

theorem 3

Si ft=-f-t f t f t y ft=ft¯ f t f t , Por ejemplo, la señal es real y impar, entonces c n =- c - n c n c - n y c n =- c n ¯ c n c n , Por ejemplo, c n c n es impar y completamente imaginaria.

Proof

Hágalo usted en casa.

Si ft f t es impar, podemos expenderlos en términos de sin ω 0 nt ω 0 n t : ft=∑n=1∞2 c n sin ω 0 nt f t n 1 2 c n ω 0 n t

Resumen

Podemos encontrar f e t f e t , una función par, y f o t f o t , una función impar, por que

ft= f e t+ f o t f t f e t f o t (3)
lo cual implica, que para cualquier ft f t , podemos encontrar a n a n y b n b n que da
ft=∑n=0∞ a n cos ω 0 nt+∑n=1∞ b n sin ω 0 nt f t n 0 a n ω 0 n t n 1 b n ω 0 n t (4)

Ejemplo 1: La Función Triangular

Figura 3: T=1 T 1 y ω 0 =2π ω 0 2 .
Figura 3 (triwave.png)

ft f t es real e impar. c n =4Aⅈπ2n2ifn=…-11-7-3159…-4Aⅈπ2n2ifn=…-9-5-13711…0ifn=…-4-2024… c n 4 A 2 n 2 n … -11 -7 -3 1 5 9 … 4 A 2 n 2 n … -9 -5 -1 3 7 11 … 0 n … -4 -2 0 2 4 … ¿Es c n =- c - n c n c - n ?

Figura 4: Series de Fourier para una funcion triangular.
Figura 4 (m10838ee.png)

Nota:

Usualmente podemos juntar información sobre la suavidad de una señal al examinar los coeficientes de Fourier.
Hecha un vistazo a los ejemplos anteriores. Las funciones del pulso y sawtooth no son continuas y sus series de Fourier disminuyen como 1n 1 n . La función triangular es continua, pero no es diferenciable, y sus series de Fourier disminuyen como 1n2 1 n 2 .

Las siguientes 3 propiedades nos darán una mejor idea de esto.

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