Tipos de Bases
1.1
2005/07/11 14:47:50 GMT-5
2005/07/20 18:31:23 GMT-5
Michael
Haag
mjhaag@rice.edu
Justin
Romberg
jrom@rice.edu
Fara
P.
Meza
fpmeza@utep.edu
Erika
Sarait
Jackson
erikaj@utep.edu
Fara
P.
Meza
fpmeza@utep.edu
Erika
Sarait
Jackson
erikaj@utep.edu
base
base normada
base ortogonal
base ortonormal
espacio vectorial
espacios de hilbert
espacios vectoriales
función delta
kronecker
normada
ortogonal
ortonormal
series de fourier
Este modulo discute los diferentes tipos de base, lo que nos conduce a la definición de base ortonormal. Son dados algunos ejemplos de la base ortonormal y sus usos también son discutidos.
Base Normada
Base Normada
una base
b
i
donde cada
b
i
tiene una norma unitaria
i
i
b
i
1
El concepto de bases se aplica a todos los espacios vectoriales. El concepto de base normada se aplica solo a espacios normados.
También usted puede normalizar una base: solo multiplique cada vector de la base por una constante, tal que
1
b
i
Dada la siguiente base:
b
0
b
1
1
1
1
-1
Normalizado con la norma
ℓ
2
:
b
~
0
1
2
1
1
b
~
1
1
2
1
-1
Normalizado con la norma
ℓ
1
:
b
~
0
1
2
1
1
b
~
1
1
2
1
-1
Base Ortogonal
Base Ortogonal
una base
b
i
en donde los elementos son mutuamente ortogonales
i
i
j
b
i
b
j
0
El concepto de base ortogonal se aplica solo a los Espacios de Hilbert
.
Base canónica para
ℝ
2
, también referida como
ℓ
2
0
1
:
b
0
1
0
b
1
0
1
b
0
b
1
i
1
0
b
0
i
b
1
i
1
0
0
1
0
Ahora tenemos la siguiente base y relación:
1
1
1
-1
h
0
h
1
h
0
h
1
1
1
1
-1
0
Base Ortonormal
Colocando las dos secciones (definiciones) anteriores juntas, llegamos al tipo de base más importante y útil:
Base Ortonormal
Una base que es normalizada y ortogonal
i
i
b
i
1
i
i
j
b
i
b
j
podemos acortar los dos argumentos en uno solo:
b
i
b
j
δ
i
j
donde
δ
i
j
1
i
j
0
i
j
Donde
δ
i
j
re refiere a la función delta Kronecker que también es escrita como
δ
i
j
.
Ejemplo de Base Ortonormal #1
b
0
b
2
1
0
0
1
Ejemplo de Base Ortonormal #2
b
0
b
2
1
1
1
-1
Ejemplo de Base Ortonormal #3
b
0
b
2
1
2
1
1
1
2
1
-1
La belleza de las Bases Ortonormales
Trabajar con las bases Ortonormales es sencillo.Si
b
i
es una base ortonormal, podemos escribir para cualquier
x
x
i
α
i
b
i
Es fácil encontrar los
α
i
:
x
b
i
k
α
k
b
k
b
i
k
α
k
b
k
b
i
En donde en la ecuación anterior podemos usar el conocimiento de la función delta para reducir la ecuación:
b
k
b
i
δ
i
k
1
i
k
0
i
k
x
b
i
α
i
Por lo tanto podemos concluir con la siguiente ecuación importante para x:
x
i
x
b
i
b
i
Los
α
i
's son fáciles de calcular (sin interacción entres los
b
i
's)
Dada la siguiente base:
b
0
b
1
1
2
1
1
1
2
1
-1
representa
x
3
2
Serie de Fourier Levemente Modificada
Dada la base
n
1
T
ω
0
n
t
en
L
2
0
T
donde
T
2
ω
0
.
f
t
n
f
ω
0
n
t
ω
0
n
t
1
T
Donde podemos calcular el producto interior de arriba en
L
2
como
f
ω
0
n
t
1
T
t
T
0
f
t
ω
0
n
t
1
T
t
T
0
f
t
ω
0
n
t
7.7.3.2 Expansión de una Base Ortonormal en un Espacio Hilbert
Sea
b
i
una base ortonormal para un espacio de Hilbert H. Entonces, para cualquier
x
H
podemos escribir
x
i
α
i
b
i
donde
α
i
x
b
i
.
-
“Análisis”: descomponer x
en términos de
b
i
α
i
x
b
i
-
"Síntesis": construir x
de una combinación de las
b
i
x
i
α
i
b
i