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Tipos de Bases

Module by: Michael Haag, Justin Romberg. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Types of Basis by Michael Haag, Justin Romberg

Summary: Este modulo discute los diferentes tipos de base, lo que nos conduce a la definición de base ortonormal. Son dados algunos ejemplos de la base ortonormal y sus usos también son discutidos.

Base Normada

Definition 1: Base Normada
una base b i b i donde cada b i b i tiene una norma unitaria
i ,iZ: b i =1 i i b i 1
(1)

nota:

El concepto de bases se aplica a todos los espacios vectoriales. El concepto de base normada se aplica solo a espacios normados.
También usted puede normalizar una base: solo multiplique cada vector de la base por una constante, tal que 1 b i 1 b i

Ejemplo 1

Dada la siguiente base: b 0 b 1 =( 1 1 )( 1 -1 ) b 0 b 1 1 1 1 -1 Normalizado con la norma 2 2 : b ~ 0 =12( 1 1 ) b ~ 0 1 2 1 1 b ~ 1 =12( 1 -1 ) b ~ 1 1 2 1 -1 Normalizado con la norma 1 1 : b ~ 0 =12( 1 1 ) b ~ 0 1 2 1 1 b ~ 1 =12( 1 -1 ) b ~ 1 1 2 1 -1

Base Ortogonal

Definition 2: Base Ortogonal
una base b i b i en donde los elementos son mutuamente ortogonales i ,ij: b i , b j =0 i i j b i b j 0

nota:

El concepto de base ortogonal se aplica solo a los Espacios de Hilbert .

Ejemplo 2

Base canónica para 2 2 , también referida como 2 0 1 2 0 1 : b 0 =( 1 0 ) b 0 1 0 b 1 =( 0 1 ) b 1 0 1 b 0 , b 1 = i =01 b 0 i b 1 i=1×0+0×1=0 b 0 b 1 i 1 0 b 0 i b 1 i 1 0 0 1 0

Ejemplo 3

Ahora tenemos la siguiente base y relación: ( 1 1 )( 1 -1 )= h 0 h 1 1 1 1 -1 h 0 h 1 h 0 , h 1 =1×1+1×-1=0 h 0 h 1 1 1 1 -1 0

Base Ortonormal

Colocando las dos secciones (definiciones) anteriores juntas, llegamos al tipo de base más importante y útil:

Definition 3: Base Ortonormal
Una base que es normalizada y ortogonal i ,iZ: b i =1 i i b i 1 i ,ij: b i , b j i i j b i b j

notación:

podemos acortar los dos argumentos en uno solo: b i , b j = δ i j b i b j δ i j donde δ i j ={1  if  i=j0  if  ij δ i j 1 i j 0 i j Donde δ i j δ i j re refiere a la función delta Kronecker que también es escrita como δij δ i j .

Ejemplo 4: Ejemplo de Base Ortonormal #1

b 0 b 2 =( 1 0 )( 0 1 ) b 0 b 2 1 0 0 1

Ejemplo 5: Ejemplo de Base Ortonormal #2

b 0 b 2 =( 1 1 )( 1 -1 ) b 0 b 2 1 1 1 -1

Ejemplo 6: Ejemplo de Base Ortonormal #3

b 0 b 2 =12( 1 1 )12( 1 -1 ) b 0 b 2 1 2 1 1 1 2 1 -1

La belleza de las Bases Ortonormales

Trabajar con las bases Ortonormales es sencillo.Si b i b i es una base ortonormal, podemos escribir para cualquier xx

x=i α i b i x i α i b i
(2)
Es fácil encontrar los α i α i :
x, b i =k α k b k , b i =k α k ( b k , b i ) x b i k α k b k b i k α k b k b i
(3)
En donde en la ecuación anterior podemos usar el conocimiento de la función delta para reducir la ecuación: b k , b i = δ i k ={1  if  i=k0  if  ik b k b i δ i k 1 i k 0 i k
x, b i = α i x b i α i
(4)
Por lo tanto podemos concluir con la siguiente ecuación importante para xx:
x=i(x, b i ) b i x i x b i b i
(5)
Los α i α i 's son fáciles de calcular (sin interacción entres los b i b i 's)

Ejemplo 7

Dada la siguiente base: b 0 b 1 =12( 1 1 )12( 1 -1 ) b 0 b 1 1 2 1 1 1 2 1 -1 representa x=( 3 2 ) x 3 2

Ejemplo 8: Serie de Fourier Levemente Modificada

Dada la base 1Tei ω 0 nt| n = n 1 T ω 0 n t en L 2 0 T L 2 0 T donde T=2π ω 0 T 2 ω 0 . ft= n =(f,ei ω 0 nt)ei ω 0 nt1T f t n f ω 0 n t ω 0 n t 1 T Donde podemos calcular el producto interior de arriba en L 2 L 2 como f,ei ω 0 nt=1T0Tftei ω 0 nt¯d t =1T0Tfte(i ω 0 nt)d t f ω 0 n t 1 T t T 0 f t ω 0 n t 1 T t T 0 f t ω 0 n t

7.7.3.2 Expansión de una Base Ortonormal en un Espacio Hilbert

Sea b i b i una base ortonormal para un espacio de Hilbert HH. Entonces, para cualquier xH x H podemos escribir

x=i α i b i x i α i b i
(6)
donde α i =x, b i α i x b i .
  • “Análisis”: descomponer x x en términos de b i b i
    α i =x, b i α i x b i
    (7)
  • "Síntesis": construir x x de una combinación de las b i b i
    x=i α i b i x i α i b i
    (8)

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