También podemos encontrar basis
vectores base para espacios vectoriales con exepción de
ℝn
n
.
Sea PnPn
un espacio vectorial de orden polinomial n-esimo en (-1, 1) con coeficientes reales
(verificar que
P2P2
es un espacio vectorial en casa).
P2P2
= {todos los polinomios cuadráticos}. Sea
b0t=1
b0
t
1
,
b1t=t
b1
t
t
,
b2t=t2
b2
t
t
2
.
b0tb1tb2t
b0
t
b1
t
b2
t
genera
P2P2,
es decir puede escribir cualquier
ft∈P2
f
t
P2
como
ft=α0b0t+α1b1t+α2b2t
f
t
α0
b0
t
α1
b1
t
α2
b2
t
para algún
αi∈ℝ
αi
.
P2P2
es de dimensión 3.
ft=t2-3t-4
f
t
t
2
3
t
4
Base Alternativa
b0tb1tb2t=1t123t2-1
b0
t
b1
t
b2
t
1
t
1
2
3
t
2
1
escribir
ft
f
t
en términos de la nueva base
d0t=b0t
d0
t
b0
t
,
d1t=b1t
d1
t
b1
t
,
d2t=32b2t-12b0t
d2
t
3
2
b2
t
1
2
b0
t
.
ft=t2-3t-4=4b0t-3b1t+b2t
f
t
t
2
3
t
4
4
b0
t
3
b1
t
b2
t
ft=β0d0t+β1d1t+β2d2t=β0b0t+β1b1t+β232b2t-12b0t
f
t
β0
d0
t
β1
d1
t
β2
d2
t
β0
b0
t
β1
b1
t
β2
3
2
b2
t
1
2
b0
t
ft=β0-12b0t+β1b1t+32β2b2t
f
t
β0
1
2
b0
t
β1
b1
t
3
2
β2
b2
t
por lo tanto
β0-12=4
β0
1
2
4
β1=-3
β1
-3
32β2=1
3
2
β2
1
enotnces obtenemos
ft=4.5d0t-3d1t+23d2t
f
t
4.5
d0
t
3
d1
t
2
3
d2
t
ⅇⅈω0nt|n=-∞∞
n
ω0
n
t
es una base para
L20T
L2
0
T
,
T=2πω0
T
2
ω0
,
ft=∑nCnⅇⅈω0nt
f
t
n
Cn
ω0
n
t
.
Calculamos la expansión de coeficientes con
Cn=1T∫0Tftⅇ-ⅈω0ntdt
Cn
1
T
t
0
T
f
t
ω0
n
t
(1)
Hay un número infinito de elementos en un conjuto de base, que significan que
L20T
L2
0
T
es de dimensión infinita.
Espacios de dimensión-infinita Infinite-dimensional son difíciles de visualizar. Podemos tomar mano de la intuición para reconocer que comparten varias de las propiedades con los espacios de dimensión finita. Muchos conceptos aplicados a ambos (como"expansión de base").Otros no (cambio de base no es una bonita formula de matriz).
