Ejemplo 1

P2P2 = {todos los polinomios cuadráticos}. Sea b0t=1 b0 t 1 , b1t=t b1 t t , b2t=t2 b2 t t 2 .

b0tb1tb2t b0 t b1 t b2 t genera P2P2, es decir puede escribir cualquier ft∈P2 f t P2 como ft=α0b0t+α1b1t+α2b2t f t α0 b0 t α1 b1 t α2 b2 t para algún αi∈ℝ αi .

ft=t2−3t−4 f t t 2 3 t 4

Base Alternativa b0tb1tb2t=1t123t2−1 b0 t b1 t b2 t 1 t 1 2 3 t 2 1 escribir ft f t en términos de la nueva base d0t=b0t d0 t b0 t , d1t=b1t d1 t b1 t , d2t=32b2t−12b0t d2 t 3 2 b2 t 1 2 b0 t . ft=t2−3t−4=4b0t−3b1t+b2t f t t 2 3 t 4 4 b0 t 3 b1 t b2 t ft=β0d0t+β1d1t+β2d2t=β0b0t+β1b1t+β232b2t−12b0t f t β0 d0 t β1 d1 t β2 d2 t β0 b0 t β1 b1 t β2 3 2 b2 t 1 2 b0 t ft=β0−12b0t+β1b1t+32β2b2t f t β0 1 2 b0 t β1 b1 t 3 2 β2 b2 t por lo tanto β0−12=4 β0 1 2 4 β1=-3 β1 -3 32β2=1 3 2 β2 1 enotnces obtenemos ft=4.5d0t−3d1t+23d2t f t 4.5 d0 t 3 d1 t 2 3 d2 t

Ejemplo 2

ⅇⅈω0nt|n=-∞∞ n ω0 n t es una base para L20T L2 0 T , T=2πω0 T 2 ω0 , ft=∑nCnⅇⅈω0nt f t n Cn ω0 n t .

Calculamos la expansión de coeficientes con

Espacios de dimensión-infinita Infinite-dimensional son difíciles de visualizar. Podemos tomar mano de la intuición para reconocer que comparten varias de las propiedades con los espacios de dimensión finita. Muchos conceptos aplicados a ambos (como"expansión de base").Otros no (cambio de base no es una bonita formula de matriz).