Base de la Ondoleta de Haar 1.2 2005/07/11 14:51:25 GMT-5 2007/01/11 15:33:58.912 US/Central Roy Ha rha@rice.edu Justin Romberg jrom@rice.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu base espacio de hilbert expansión fourier haar hilbert ondoleta ondoleta de haar ondoletas series de fourier Este módulo nos da una descripción de las ondoletas y su utilidad como base en el procesamiento de imagenes. En particular veremos las propiedades de la base de la ondoleta de Haar.
Introducción Las series de Fourier es una útil representación ortonormal en L 2 0 T especialmente para entradas en sistemas LTI. Sin embargo es útil para algunas aplicaciones, es decir, procesamiento de imagenes (recordando el fenomeno de Gibb). Las ondoletas, descubiertas en los pasados 15 años, son otro tipos de base para L 2 0 T y tiene varias propiedades.
Comparación de Base Las series de Fourier - c n dan información frecuente. Las funciones de la base duran todo el intervalo entero.
Funciones de la base de Fourier
Ondoletas - las funciones de la base con frecuencia nos dan información pero es local en el tiempo.
Funciones de la Base de la Ondoleta
En la base de Fourier, las funciones de la base son armónicas multiples de ω 0 t
base 1 T ω 0 n t
En la base de la ondoleta de Haar , las funciones de la base son escaladas y trasladadas de la version de la "ondoleta madre" ψ t .
Funciones base ψ j , k t se les pone un índice por un escalar j y un desplazamiento k. Sea 0 t T φ t 1 Entonces φ t 2 j 2 ψ 2 j t k j ℤ k 0 , 1 , 2 , … , 2 j - 1 φ t 2 j 2 ψ 2 j t k
ψ t 1 0 t T 2 -1 0 T 2 T
Sea ψ j , k t 2 j 2 ψ 2 j t k
Más grande j → "delgado" la función de la base , j 0 1 2 … , 2 j cambia a cada escala: k 0 , 1 , … , 2 j - 1 Checar: cada ψ j , k t tiene energia unitaria
t ψ j , k t 2 1 ∥ ψ j , k ( t ) ∥ 2 1 Cualesquiera dos funciones de la base son ortogonales.
Misma escala Diferente escala Integral del producto = 0
También, ψ j , k φ generan L 2 0 T
Transformada de la Ondoleta de Haar Usando lo que conocemos sobre espacios de Hilbert : Para cualquier f t L 2 0 T , podemos escribir Sintesis f t j j k k w j , k ψ j , k t c 0 φ t Análisis w j , k t 0 T f t ψ j , k t c 0 t 0 T f t φ t los w j , k son reales La transformación de Haar es muy útil especialemte en compresión de imagenes. Esta demostración nos permite crear una señal por combinación de sus funciones de la base de Haar, ilustrando la ecuación de sistesis de la ecuación de la Transformada de la Ondoleta de Haar. Veámos aquí para las instrucciones de como usar el demo.