Comparación de Base
Las series de Fourier -
c
n
c
n
dan información frecuente. Las funciones de la base duran todo el intervalo entero.
Ondoletas - las funciones de la base con frecuencia nos dan información pero es
local en el tiempo.
En la base de Fourier, las funciones de la base son armónicas
multiples de
ⅇⅈ
ω
0
t
ω
0
t
Funciones base
ψ
j
,
k
t
ψ
j
,
k
t
se les pone un índice por un escalar j y un
desplazamiento k.
Sea
∀,0≤t<T:φt=1
0
t
T
φ
t
1
Entonces
{φt2j2ψ2jt-k|j∈ℤ∧k=
0
,
1
,
2
,
…
,
2
j
-
1
}
φ
t
2
j
2
ψ
2
j
t
k
j
ℤ
k
0
,
1
,
2
,
…
,
2
j
-
1
φ
t
2
j
2
ψ
2
j
t
k
ψt=1if0≤t<T2-1if0≤T2<T
ψ
t
1
0
t
T
2
-1
0
T
2
T
(1)
Sea
ψ
j
,
k
t=2j2ψ2jt-k
ψ
j
,
k
t
2
j
2
ψ
2
j
t
k
Más grande jj → "delgado" la función de la base
,
j=012…
j
0
1
2
…
,
2j
2
j
cambia a cada escala:
k=
0
,
1
,
…
,
2
j
-
1
k
0
,
1
,
…
,
2
j
-
1
Checar: cada
ψ
j
,
k
t
ψ
j
,
k
t
tiene energia unitaria
∫
ψ
j
,
k
2tdt=1⇒
∥
ψ
j
,
k
(
t
)
∥
2
=1
t
ψ
j
,
k
t
2
1
∥
ψ
j
,
k
(
t
)
∥
2
1
(2)
Cualesquiera dos funciones de la base son ortogonales.
También,
ψ
j
,
k
φ
ψ
j
,
k
φ
generan
L
2
0T
L
2
0
T
Transformada de la Ondoleta de Haar
Usando lo que conocemos sobre
espacios de Hilbert : Para cualquier
ft∈
L
2
0T
f
t
L
2
0
T
,
podemos escribir
Sintesis
ft=∑j∑k
w
j
,
k
ψ
j
,
k
t+
c
0
φt
f
t
j
j
k
k
w
j
,
k
ψ
j
,
k
t
c
0
φ
t
(3)
Análisis
w
j
,
k
=∫0Tft
ψ
j
,
k
tdt
w
j
,
k
t
0
T
f
t
ψ
j
,
k
t
(4)
c
0
=∫0Tftφtdt
c
0
t
0
T
f
t
φ
t
(5)
nota: los
w
j
,
k
w
j
,
k
son reales
La transformación de Haar es
muy útil especialemte en
compresión de imagenes.
Ejemplo 1
Esta demostración nos permite crear una señal por combinación de sus funciones de la base de Haar, ilustrando la ecuación de sistesis de la ecuación de la Transformada de la Ondoleta de Haar. Veámos
aquí para las instrucciones de como usar el demo.