Introducción

Las series de Fourier es una útil representación ortonormal en L 2 0T L 2 0 T especialmente para entradas en sistemas LTI. Sin embargo es útil para algunas aplicaciones, es decir, procesamiento de imagenes (recordando el fenomeno de Gibb).

Las ondoletas, descubiertas en los pasados 15 años, son otro tipos de base para L 2 0T L 2 0 T y tiene varias propiedades.

Comparación de Base

Las series de Fourier - c n c n dan información frecuente. Las funciones de la base duran todo el intervalo entero.

Figura 1: Funciones de la base de Fourier

Ondoletas - las funciones de la base con frecuencia nos dan información pero es local en el tiempo.

Figura 2: Funciones de la Base de la Ondoleta

En la base de Fourier, las funciones de la base son armónicas multiples de ⅇⅈ ω 0 t ω 0 t

Figura 3: base=1Tⅇⅈ ω 0 nt base 1 T ω 0 n t

En la base de la ondoleta de Haar , las funciones de la base son escaladas y trasladadas de la version de la "ondoleta madre" ψt ψ t .

Figura 4

Funciones base ψ j , k t ψ j , k t se les pone un índice por un escalar j y un desplazamiento k.

Sea ∀,0≤t<T:φt=1 0 t T φ t 1 Entonces {φt2j2ψ2jt−k|j∈ℤ∧k= 0 , 1 , 2 , … , 2 j - 1 } φ t 2 j 2 ψ 2 j t k j ℤ k 0 , 1 , 2 , … , 2 j - 1 φ t 2 j 2 ψ 2 j t k

Figura 5

Figura 6

Sea ψ j , k t=2j2ψ2jt−k ψ j , k t 2 j 2 ψ 2 j t k

Figura 7

Más grande jj → "delgado" la función de la base , j=012… j 0 1 2 … , 2j 2 j cambia a cada escala: k= 0 , 1 , … , 2 j - 1 k 0 , 1 , … , 2 j - 1

Checar: cada ψ j , k t ψ j , k t tiene energia unitaria

Figura 8

Cualesquiera dos funciones de la base son ortogonales.

Figura 9: Integral del producto = 0

(a) Misma escala (b) Diferente escala

También, ψ j , k φ ψ j , k φ generan L 2 0T L 2 0 T

Transformada de la Ondoleta de Haar

Usando lo que conocemos sobre espacios de Hilbert : Para cualquier ft∈ L 2 0T f t L 2 0 T , podemos escribir