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Base de la Ondoleta de Haar

Module by: Roy Ha, Justin Romberg Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Haar Wavelet Basis por Roy Ha, Justin Romberg

Summary: Este módulo nos da una descripción de las ondoletas y su utilidad como base en el procesamiento de imagenes. En particular veremos las propiedades de la base de la ondoleta de Haar.

Introducción

Las series de Fourier es una útil representación ortonormal en L 2 0T L 2 0 T especialmente para entradas en sistemas LTI. Sin embargo es útil para algunas aplicaciones, es decir, procesamiento de imagenes (recordando el fenomeno de Gibb).
Las ondoletas, descubiertas en los pasados 15 años, son otro tipos de base para L 2 0T L 2 0 T y tiene varias propiedades.

Comparación de Base

Las series de Fourier - c n c n dan información frecuente. Las funciones de la base duran todo el intervalo entero.
fig1.png
Figura 1: Funciones de la base de Fourier
Ondoletas - las funciones de la base con frecuencia nos dan información pero es local en el tiempo.
fig2.png
Figura 2: Funciones de la Base de la Ondoleta
En la base de Fourier, las funciones de la base son armónicas multiples de ⅇⅈ ω 0 t ω 0 t
fig3.png
Figura 3: base=1Tⅇⅈ ω 0 nt base 1 T ω 0 n t
En la base de la ondoleta de Haar , las funciones de la base son escaladas y trasladadas de la version de la "ondoleta madre" ψt ψ t .
fig4s.png
Figura 4
Funciones base ψ j , k t ψ j , k t se les pone un índice por un escalar j y un desplazamiento k.
Sea ∀,0≤t<T:φt=1 0 t T φ t 1 Entonces {φt2j2ψ2jt-k|j∈ℤ∧k= 0 , 1 , 2 , … , 2 j - 1 } φ t 2 j 2 ψ 2 j t k j ℤ k 0 , 1 , 2 , … , 2 j - 1 φ t 2 j 2 ψ 2 j t k
fig5a.png
Figura 5
ψt=1if0≤t<T2-1if0≤T2<T ψ t 1 0 t T 2 -1 0 T 2 T (1)
fig6.png
Figura 6
Sea ψ j , k t=2j2ψ2jt-k ψ j , k t 2 j 2 ψ 2 j t k
fig7a.png
Figura 7
Más grande jj → "delgado" la función de la base , j=012… j 0 1 2 … , 2j 2 j cambia a cada escala: k= 0 , 1 , … , 2 j - 1 k 0 , 1 , … , 2 j - 1
Checar: cada ψ j , k t ψ j , k t tiene energia unitaria
fig8s.png
Figura 8
∫ ψ j , k 2tdt=1⇒ ∥ ψ j , k ( t ) ∥ 2 =1 t ψ j , k t 2 1 ∥ ψ j , k ( t ) ∥ 2 1 (2)
Cualesquiera dos funciones de la base son ortogonales.
fig9a.pngfig9b.png
Subfigure 9.1: Misma escala
Subfigure 9.2: Diferente escala
Figura 9: Integral del producto = 0
También, ψ j , k φ ψ j , k φ generan L 2 0T L 2 0 T

Transformada de la Ondoleta de Haar

Usando lo que conocemos sobre espacios de Hilbert : Para cualquier ft∈ L 2 0T f t L 2 0 T , podemos escribir
Sintesis ft=∑j∑k w j , k ψ j , k t+ c 0 φt f t j j k k w j , k ψ j , k t c 0 φ t (3)
Análisis w j , k =∫0Tft ψ j , k tdt w j , k t 0 T f t ψ j , k t (4)
c 0 =∫0Tftφtdt c 0 t 0 T f t φ t (5)
nota: los w j , k w j , k son reales
La transformación de Haar es muy útil especialemte en compresión de imagenes.
Ejemplo 1 
Esta demostración nos permite crear una señal por combinación de sus funciones de la base de Haar, ilustrando la ecuación de sistesis de la ecuación de la Transformada de la Ondoleta de Haar. Veámos aquí para las instrucciones de como usar el demo.
LabVIEW Example: (run) (source)

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