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Expansión de Bases Ortonormales

Module by: Michael Haag, Justin Romberg. E-mail the authorsTranslated By: Fara Meza, Erika Jackson

Based on: Orthonormal Basis Expansions by Michael Haag, Justin Romberg

Summary: El modulo se ve como la descomposición de señales por medio de la expansión de bases ortonormales para proveer una representación alternativa. El modulo presenta varios ejemplos para resolver los problemas y vistos en diferentes tipos de espacios y dimensiones.

Idea Principal

Cuando trabajamos con señales muchas veces es útil romper la señal en pequeñas, partes mas manejables. Por suerte en este momento usted ya ha sido expuesto al concepto de eigenvectores y su uso en la descomposición de una señal en una de sus posibles bases. Haciendo esto, somos capaces de simplificar el nuestro cálculo de señales y sistemas a través de las eigenfunciones de los sistemas LTI .

Ahora veremos una forma alternativa de representar las señales, a través del uso de una base ortonormal. Podemos pensar en una base ortonormal como un conjunto de bloques construidos que utilizamos para construir funciones. Construiremos la señal/ vector como una suma cargada de elementos base.

Ejemplo 1

La función senoidal compleja 1T⁢ei⁢ ω 0 ⁢n⁢t 1 T ω 0 n t para todo −∞<n<∞ n forma una base ortonormal para L 2 ⁢ 0 T L 2 0 T .

En nuestras series de Fourier series la ecuación, f⁢t=∑ n =−∞∞ c n ⁢ei⁢ ω 0 ⁢n⁢t f t n c n ω 0 n t ,el c n c n es solo otra representación de f⁢t f t .

nota:

Para la señal/ vector en un Espacio de Hilbert , la expansión de coeficientes es fácil de encontrar.

Representación Alternativa

Recordando nuestra definición de base: Un conjunto de vectores b i b i en un espacio vectorial S S es una base si

  1. Las b i b i son linealmente independientes.
  2. Los b i b i que generan S S. Esto es, podemos encontrar α i α i , donde α i ∈C α i (escalares) tal que
    ∀ x ,x∈S:x=∑i α i ⁢ b i x x S x i α i b i
    (1)
    donde xx es un vector en S S, αα es un escalar en C, y b b es un vector en S S.

La condición 2 en la definición anterior dice que podemos descomponer cualquier vector en términos de la b i b i . Condición 1 asegura que la descomposición es única.

nota:

α i α i provee una representación alternativa de xx.

Ejemplo 2

Veamos un simple ejemplo en ℝ 2 ℝ 2 , donde tenemos el siguiente vector: x=12 x 1 2 Base Canónica: e 0 e 1 =10T01T e 0 e 1 1 0 0 1 x= e 0 +2⁢ e 1 x e 0 2 e 1 Base Alternativa: h 0 h 1 =11T1-1T h 0 h 1 1 1 1 -1 x=32⁢ h 0 +-12⁢ h 1 x 3 2 h 0 -1 2 h 1

En general, dada una base b 0 b 1 b 0 b 1 y un vector x∈ ℝ 2 x ℝ 2 , como encontramos α 0 α 0 y α 1 α 1 tal que

x= α 0 ⁢ b 0 + α 1 ⁢ b 1 x α 0 b 0 α 1 b 1
(2)

Encontrando los Alfas

Ahora tratemos con la pregunta que se presentó arriba sobre encontrar los α i α i 's en genral para ℝ 2 ℝ 2 . Empezamos reescribiendo la ecuación 2 así que podemos apilar nuestras b i b i 's como columnas en una matriz de 2×2.

( x )= α 0 ⁢( b 0 )+ α 1 ⁢( b 1 ) x α 0 b 0 α 1 b 1
(3)
( x )=( ⋮⋮ b 0 b 1 ⋮⋮ )⁢( α 0 α 1 ) x ⋮ ⋮ b 0 b 1 ⋮ ⋮ α 0 α 1
(4)

Ejemplo 3

Este es un ejemplo sencillo, que muestra pequeños detalles de la ecuación anterior.

( x⁢0 x⁢1 )= α 0 ⁢( b 0 ⁢0 b 0 ⁢1 )+ α 1 ⁢( b 1 ⁢0 b 1 ⁢1 )=( α 0 ⁢ b 0 ⁢0+ α 1 ⁢ b 1 ⁢0 α 0 ⁢ b 0 ⁢1+ α 1 ⁢ b 1 ⁢1 ) x 0 x 1 α 0 b 0 0 b 0 1 α 1 b 1 0 b 1 1 α 0 b 0 0 α 1 b 1 0 α 0 b 0 1 α 1 b 1 1
(5)
( x⁢0 x⁢1 )=( b 0 ⁢0 b 1 ⁢0 b 0 ⁢1 b 1 ⁢1 )⁢( α 0 α 1 ) x 0 x 1 b 0 0 b 1 0 b 0 1 b 1 1 α 0 α 1
(6)

Simplificando nuestra Ecuación

Para hacer una notación simple, definimos los siguientes dos conceptos de la ecuación anterior:

  • Matriz de la Base: B=( ⋮⋮ b 0 b 1 ⋮⋮ ) B ⋮ ⋮ b 0 b 1 ⋮ ⋮
  • Vector de Coeficientes: α=( α 0 α 1 ) α α 0 α 1
Lo que nos da la siguiente ecuación:
x=B⁢α x B α
(7)
que es mas equivalente a x=∑ i =01 α i ⁢ b i x i 1 0 α i b i .

Ejemplo 4

Dada la base canónica, ( 1 0 )( 0 1 ) 1 0 0 1 , entonces tenemos la siguiente matriz de la base: B=( 01 10 ) B 0 1 1 0

Para obtener las α i α i 's, resolvemos para el vector de coeficientes en la ecuación 7

α=B-1⁢x α B x
(8)
Donde B-1 B es la matriz inversa matrix de BB.

Ejemplos

Ejemplo 5

Veamos primero la base canónica y tratemos de calcular calculate α α de ahi. B=( 10 01 )=I B 1 0 0 1 I Donde II es la matriz identidad. Para poder resolver para α α enocontremos primero la inversa de BB (la cual es realmente trivial en este caso): B-1=( 10 01 ) B 1 0 0 1 Por lo tanto obtenemos, α=B-1⁢x=x α B x x

Ejemplo 6

Ahora veamos una base un poco mas complicada de ( 1 1 )( 1 -1 )= h 0 h 1 1 1 1 -1 h 0 h 1 Enotnces nuestra base y nuestra inversa de la matriz de la base se convierte en: B=( 11 1-1 ) B 1 1 1 -1 B-1=( 1212 12-12 ) B 1 2 1 2 1 2 -1 2 y para este ejemplo esto nos da que x=( 3 2 ) x 3 2 Ahora resolvemos para α α α=B-1⁢x=( 1212 12-12 )⁢( 3 2 )=( 2.5 0.5 ) α B x 1 2 1 2 1 2 -1 2 3 2 2.5 0.5 y obtenemos x=2.5⁢ h 0 +0.5⁢ h 1 x 2.5 h 0 0.5 h 1

Exercise 1

Ahora dada la siguiente matriz de la base y xx: b 0 b 1 =( 1 2 )( 3 0 ) b 0 b 1 1 2 3 0 x=( 3 2 ) x 3 2 Para este probelma haga un bosquejo de las bases y después represente xx en términos de b 0 b 0 y b 1 b 1 .

Solution

Para poder representar xx en términos de b 0 b 0 y b 1 b 1 seguimos los mismos pasos usados en los ejemplos anteriores. B=( 12 30 ) B 1 2 3 0 B-1=( 012 13-16 ) B 0 1 2 1 3 -1 6 α=B-1⁢x=( 1 23 ) α B x 1 2 3 Y ahora podemos escribir xx en términos de b 0 b 0 y b 1 b 1 . x= b 0 +23⁢ b 1 x b 0 2 3 b 1 Y facilmente podemos sustituir nuestros valores conocidos de b 0 b 0 y b 1 b 1 para verificar nuestros resultados.

nota:

Un cambio de base simplemente se ve como xx desde una "perspectiva diferente." B-1 B transforms xx de la base canónica a nuestra nueva base, b 0 b 1 b 0 b 1 . Nótese que es un proceso totalmente mecánico.

Extendiendo la Dimensión y el Espacio

Podemos extender estas ideas más alla de ℝ 2 ℝ 2 y verlas en ℝ n ℝ n y ℂ n ℂ n . Este procedimiento se extendiende naturalmente a dimensiones mas grandes (> 2) . Dada la base b 0 b 1 … b n − 1 b 0 b 1 … b n − 1 para ℝ n ℝ n , queremos encontrar α 0 α 1 … α n − 1 α 0 α 1 … α n − 1 tal que

x= α 0 ⁢ b 0 + α 1 ⁢ b 1 +…+ α n − 1 ⁢ b n − 1 x α 0 b 0 α 1 b 1 … α n − 1 b n − 1
(9)
Otra vez, coloque la matriz de la base B=( b 0 b 1 b 2 … b n − 1 ) B b 0 b 1 b 2 … b n − 1 donde las columnas iguales a los vectores de la base y que siempre será una matriz de n×n (mientras que la matriz anterior no aparezca al cuadrado ya que dejamos términos en notación vectorial ). Podemos proceder a reescribir la ecuación 7 x=( b 0 b 1 … b n − 1 )⁢( α 0 ⋮ α n − 1 )=B⁢α x b 0 b 1 … b n − 1 α 0 ⋮ α n − 1 B α y α=B-1⁢x α B x

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