Teoremas de Plancharel y Parseval 2.4 2005/07/11 14:54:11.985 GMT-5 2005/07/22 23:10:49.085 GMT-5 Justin Romberg jrom@rice.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Parseval Plancharel Este modulo contiene la definición del teorema de Plancharel y del teorema de Parseval con sus demostraciones y ejemplos.

Teorema de Plancharel Teorema de Plancharel El producto interno de dos vectores/señales es el mismo que en ℓ 2 el producto interno de su expansión de coeficientes. Sea b i una base ortonormal para un Espacio de Hilbert H . x H , y H x i α i b i y i β i b i entonces x y H i α i β i Aplicando las Series de Fourier, podemos ir de f t a c n y de g t a d n t 0 T f t g t n c n d n el producto interno en el dominio-tiempo = producto interno de los coefientes de Fourier. x i α i b i y j β j b j x y H i α i b i j β j b j i α i b i j β j b j i α i j β j b i b j i α i β i usando las reglas del producto interno. b i b j 0 cuando i j y b i b j 1 cuando i j Si el espacio de Hillbert H tiene un ONB, los productos internos son equivalentes a los productos internos en ℓ 2 . Todo H con ONB son de alguna manera equivalente a ℓ 2 . las secuencias de cuadrados sumables son importantes.

Teorema de Parseval Teorema de Parseval La energía de una señal = suma de los cuadrados de su expansión de coeficientes. Sea x H , b i ONB x i α i b i Entonces H x 2 i α i 2 Directamente de Plancharel H x 2 x x H i α i α i i α i 2 Series de Fourier 1 T w 0 n t f t 1 T n c n 1 T w 0 n t t 0 T f t 2 n c n 2