El producto interno de dos vectores/señales es el mismo que en
ℓ2
ℓ
2
el producto interno de su expansión de coeficientes.

Sea
b
i
b
i
una base ortonormal para un Espacio de Hilbert
H
H.
x∈H
x
H
,
y∈H
y
H
x=∑
i
α
i
b
i
x
i
α
i
b
i
y=∑
i
β
i
b
i
y
i
β
i
b
i
entonces
〈x,y〉
H
=∑
i
α
i
β
i
¯
x
y
H
i
α
i
β
i

Aplicando las Series de Fourier, podemos ir de
ft
f
t
a
c
n
c
n
y de
gt
g
t
a
d
n
d
n
∫0Tftgt¯d
t
=∑
n
=−∞∞
c
n
d
n
¯
t
0
T
f
t
g
t
n
c
n
d
n
el producto interno en el dominio-tiempo = producto interno de los coefientes de Fourier.

x=∑
i
α
i
b
i
x
i
α
i
b
i
y=∑
j
β
j
b
j
y
j
β
j
b
j
〈x,y〉
H
=〈∑
i
α
i
b
i
,∑
j
β
j
b
j
〉=∑
i
α
i
〈(
b
i
,∑
j
β
j
b
j
)〉=∑
i
α
i
∑
j
β
j
¯〈(
b
i
,
b
j
)〉=∑
i
α
i
β
i
¯
x
y
H
i
α
i
b
i
j
β
j
b
j
i
α
i
b
i
j
β
j
b
j
i
α
i
j
β
j
b
i
b
j
i
α
i
β
i
usando las reglas del producto interno.

〈
b
i
,
b
j
〉=0
b
i
b
j
0
cuando
i≠j
i
j
y
〈
b
i
,
b
j
〉=1
b
i
b
j
1
cuando
i=j
i
j

Si el espacio de Hillbert H tiene un ONB, los productos internos son equivalentes a los productos internos en
ℓ2
ℓ
2
.

Todo H con ONB son de alguna manera equivalente a
ℓ2
ℓ
2
.

las secuencias de cuadrados sumables son importantes.

Comments:"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"