Antes de ver este módulo, esperamos que usted este completamente convencido que cualquier
función periódica
ft
f
t
, se puede representar como una suma de senosoidales complejos. Si usted no lo esta, intente ver la sección de generalidades de eigenfunciones o de eigenfunciones de los sistemas LTI.
Hemos demostrado que podemos representar la señal como una suma de exponenciales usando las ecuaciones de las series de Fourier mostradas aquí:
ft=∑n
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
t
n
c
n
ω
0
n
t
(1)
c
n
=1T∫0Tftⅇ-ⅈ
ω
0
ntdt
c
n
1
T
t
T
0
f
t
ω
0
n
t
(2)
Joseph
Fourier insistió que estas ecuaciones eran verdaderas, pero nunca las pudo probar. Lagrange ridiculizó públicamente a Fourier y dijo que solo funciones continuas podrían ser representadas como
ecuación 1 (así que probo que la
ecuación 1 funciona para funciones continuas en el tiempo). Sin embargo, nosotros sabemos que la verdad se encuentra entre las posiciones que Fourier y Lagrange tomaron.
Formulando nuestra pregunta matemáticamente, deje
f
N
′t=∑n=-NN
c
n
ⅇⅈ
ω
0
nt
f
N
t
n
N
N
c
n
ω
0
n
t
donde
c
n
c
n
es igual a los coeficientes de Fourier,
ft
f
t
. (vea ecuación 2).
f
N
′t
f
N
t
es la “reconstrucción parcial” de
ft
f
t
usando los primeros
2N+1
2
N
1
coeficientes de Fourier.
f
N
′t
f
N
t
se aproxima a
ft
f
t
, con la aproximación mejorando cuando
NN se vuelve grande. Así que, podemos pensar que el conjunto
∀N,N=
01…
:
f
N
′t
N
N
0
1
…
f
N
t
es una secuencia de funciones, cada una aproximando
ft
f
t
mejor que la anterior.
La pregunta se convierte en , ¿sí esta secuencia converge a
ft
f
t
? ¿
f
N
′t→ft
f
N
t
f
t
asi como a
N→∞
N
? Trataremos de responder estas preguntas al ver la convergencia de dos maneras diferentes:
-
Viendo la energía de la señal de error:
e
N
t=ft−
f
N
′t
e
N
t
f
t
f
N
t
-
Viendo el
limN→∞
f
N
′t
N
f
N
t
en cada punto y comparándolo con
ft
f
t
.
Sea
e
N
t
e
N
t
la diferencia (i.e. error) entre la señal
ft
f
t
y su reconstrucción parcial
f
N
′t
f
N
t
e
N
t=ft−
f
N
′t
e
N
t
f
t
f
N
t
(3)
Si
ft∈
L
2
0T
f
t
L
2
0
T
(energía finita), entonces la energía de
e
N
t→0
e
N
t
0
cuando
N→∞
N
es
∫0T|
e
N
t|2dt=∫0Tft−
f
N
′t2dt→0
t
T
0
e
N
t
2
t
T
0
f
t
f
N
t
2
0
(4)
Podemos comprobar esta ecuación usando la relación de Perseval al:
limN→∞∫0T|ft−
f
N
′t|2dt=limN→∞∑N=-∞∞|
ℱ
n
ft
−
ℱ
n
f
N
′t
|2=limN→∞∑|n|>N|
c
n
|2=0
N
t
T
0
f
t
f
N
t
2
N
N
ℱ
n
f
t
ℱ
n
f
N
t
2
N
n
n
N
c
n
2
0
Donde la ecuación antes del cero es la suma de la última parte
de las series de Fourier. La cual se aproxima a cero por que
ft∈
L
2
0T
f
t
L
2
0
T
.
Ya que el sistema físicos responden a la energía, las series de Fourier proveen una representación adecuada para todo
ft∈
L
2
0T
f
t
L
2
0
T
igualando la energía finita sobre un punto.
El hecho de que
e
N
→0
e
N
0
no nos dice nada sobre que
ft
f
t
y
limN→∞
f
N
′t
N
f
N
t
sean iguales en cierto punto. Tomemos las siguientes funciones como un ejemplo:
Dadas estas dos funciones
ft
f
t
y
gt
g
t
, podemos observar que para todo t
t,
ft≠gt
f
t
g
t
, pero
∫0T|ft−gt|2dt=0
t
T
0
f
t
g
t
2
0
De esto podemos derivar las siguientes relaciones:
Convergencia de energía ≠convergencia de punto por punto
Convergencia de energía
convergencia de punto por punto
Convergencia de punto por punto ⇒
convergencia en L
2
0T
Convergencia de punto por punto
convergencia en L
2
0
T
Sin embargo, lo contrario de la proposició no es cierto.
Resulta que si
ft
f
t
tiene una discontinuidad (como se puede observar en la figura de
gt
g
t
) en
t
0
t
0
, entonces
f
t
0
≠limN→∞
f
N
′
t
0
f
t
0
N
f
N
t
0
Mientras
ft
f
t
tenga algunas de las condiciones, entonces
f
t
′
=limN→∞
f
N
′
t
′
f
t
′
N
f
N
t
′
si
ft
f
t
es continua en
t=
t
′
t
t
′
.
"Señales y Sistemas is a Spanish translation of Dr. Rich Baraniuk's collection Signals and Systems (col10064). The translation was coordinated by an an assistant electrical engineering professor […]"