Introducción Dada una linea 'l' y un punto 'p' en el plano, ¿ Cuál es el punto más cercano 'm' a 'p' en 'l'?

Figura del punto 'p' y la linea 'l' mencionadas. Mismo problema: Sea x y v vectores en 2 . Digamos v 1 . ¿Para qué valor de α es x α v 2 minimizado? (¿qué punto en el espacio generado{v} mejor se aproxima a x?)

La condición es que x α ^ v y α v sean ortogonales.

Calculando α ¿Cómo calcular α ^ ? Sabemos que ( x α ^ v ) es perpendicular para todo vector en el espacio generado {v}, así que β ∀ β x α ^ v β v 0 β x v α ^ β v v 0 por que v v 1 , por lo tanto x v α ^ 0 α ^ x v El vector más cercano en el espacio generado{v} = x v v , donde x v v es la proyección de x sobre v. ¿Punto a un plano?

Podemos hacer lo mismo pero en dimensiones más grandes. Sea V H un subespacio de un espacio de Hilbert H. Sea x H dado. Encontrar y V que mejor se aproxime x. es decir, x y esta minimizada. Encontrar una base ortonormal b1 … bk para V Proyectar x sobre V usando y i 1 k x bi bi después y es el punto más cercano en V a x y (x-y) ⊥ V ( v ∀ v V x y v 0 x 3 , V espacio generado 1 0 0 0 1 0 , x a b c . Por lo tanto, y i 1 2 x bi bi a 1 0 0 b 0 1 0 a b 0 V = {espacio de las señales periódicas con frecuancia no mayor que 3 w0 }. Dada f(t) periódica, ¿Cúal es la señal en V que mejor se aproxima a f? { 1 T w0 k t , k = -3, -2, ..., 2, 3} es una ONB para V g t 1 T k -3 3 f t w0 k t w0 k t es la señal más cercana en V para f(t) ⇒ reconstruya f(t) usando solamente 7 términos de su serie de Fourier . Sea V = { funciones constantes por trozos entre los números enteros} ONB para V. bi 1 i 1 t i 0 donde {bi} es una ONB. ¿La mejor aproximación constante por trozos? g t i f bi bi f bi t f t bi t t i 1 i f t Esta demostración explora la aproximación usando una base de Fourier y una base de las ondoletas de Haar. Véase aqui para las instrucciones de como usar el demo.