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    By: OpenCourseWare ConsortiumAs a part of collection:"Señales y Sistemas"

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Convergencia de Secuencias

Module by: Richard Baraniuk Translated by: Fara Meza, Erika JacksonBased on: Convergence of Sequences por Richard Baraniuk

Summary: Este módulo presentra una introducción a la convergencia y se enfocara en la secuencia, su comportamiento y sus aproximaciones al infinito.

¿Qué es una Secuencia?

Definition 1: secuencia
Una secuencia es una función gn gn definida en los enteros positivos 'nn'. También denotamos una secuencia por: gn |n=1∞ n 1 gn
Ejemplo 
Una secuencia de números reales: gn=1n gn 1 n
Ejemplo 
Una secuencia vector: gn=sinnπ2cosnπ2 gn n 2 n 2
Ejemplo 
Una secuencia de una función: g n t=1if0≤t<1n0otherwise g n t 1 0 t 1 n 0
nota: Una función puede ser pensada como un vector de dimensión infinito donde por cada valor de 'tt' tenemos una dimensión.

Convergencia de Secuencias Reales

Definition 2: límite
Una secuencia gn |n=1∞ n 1 gn converge a un límite g∈ℝ g si para todo ε>0 ε 0 existe un entero N N tal que ∀i,i≥N:|gi-g|<ε i i N gi g ε Usualmente denotamos un límite escribiendo limi→∞gi=g i gi g ó g i →g g i g
La definición anterior significa que no importa que tan pequeño hagamos εε, excepto para un número finito de g i g i 's, todos los puntos de la secuencia estan dentro de una distancia εε de gg.
Ejemplo 1 
Dada las siguiente secuencia de convergencia :
gn=1n gn 1 n (1)
Intuitivamente podemos asumir el siguiente límite: limn→∞gn=0 n gn 0 . Ahora provemos esto rigurosamente, digamos que dado el número real ε>0 ε 0 . Escojamos N=⌈1ε⌉ N 1 ε , donde ⌈x⌉ x denota el menor entero mayor que xx. Entonces para n≥N n N tenemos |gn-0|=1n≤1N<ε gn 0 1 n 1 N ε Donde, limn→∞gn=0 n gn 0
Ejemplo 2 
Ahora veamos la siguiente secuencia no-convergente gn= 1ifn=par-1ifn=impar gn 1 n par -1 n impar Esta secuencia oscila entre 1 y -1, asi que nunca converge.

Problemas

Para practicar, diga cuales de las siguientes secuencias convergen y de el limite si este existe.
  1. gn=n gn n
  2. gn= 1nifn=par-1nifn=impar gn 1 n n par -1 n n impar
  3. gn= 1nifn≠potencia de 101otherwise gn 1 n n potencia de 10 1
  4. gn=nifn<1051nifn≥105 gn n n 10 5 1 n n 10 5
  5. gn=sinπn gn n
  6. gn=ⅈn gn n

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