Convergencia de Vectores 1.2 2005/07/26 19:26:38 GMT-5 2007/01/17 15:03:36.161 US/Central Michael Haag mjhaag@rice.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu Fara P. Meza fpmeza@utep.edu Erika Sarait Jackson erikaj@utep.edu convergencia cpnvergencia puntual norma norma de convergencia puntual vector vectores Este módulo presenta dos tipos comunes de convergencia, puntual y norma, discutiremos sus propiedades, diferencias y relaciones entre ellos.

Convergencia de Vectores Discutiremos la convergencia puntual y de la norma de vectores. También existen otros tipos de convergencia y uno en particular, la convergencia uniforme, también puede ser estudiada. Para esta discusión, asumiremos que los vectores pertenecen a un espacio de vector normado.

COnvergencia Puntual Una secuencia n 1 gn converge puntualmente al límite g si cada elemento de gn converge al elemento correspondiente en g . A continuación hay unos ejemplos para tratar de ilustrar esta idea. gn gn 1 gn 2 1 1 n 2 1 n Primero encontramos los siguiente limites para nuestras dos gn 's: n gn 1 1 n gn 2 2 Después tenemos el siguiente, n gn g puntual, donde g 1 2 . t t gn t t n Como se hizo anteriormente, primero examinamos el límite n gn t0 n t0 n 0 donde t0 . Por lo tanto n gn g puntualmente donde g t 0 para toda t .

Norma de Convergencia La secuencia n 1 gn converge a g en la norma si n gn g 0 . Aqui ˙ es la norma del espacio vectorial correspondiente de g n 's. Intuitivamente esto significa que la distancia entre los vectores g n y g decrese a 0. g n 1 1 n 2 1 n Sea g 1 2 g n g 1 1 n 1 2 2 1 n 1 2 1 n 2 1 n 2 2 n Asi n g n g 0 , Por lo tanto, g n g en la norma. g n t t n 0 t 1 0 Sea g t 0 para todo t. g n t g t t 1 0 t 2 n 2 n 0 1 t 3 3 n 2 1 3 n 2 Asi n g n t g t 0 Por lo tanto, g n t g t en la norma.

Puntual vs.Norma de Convergencia Para m , la convergencia puntual y la norma de convergencia es equivalente. Puntual ⇒ Norma g n i g i Asumiendo lo anterior, entonces g n g 2 i m 1 g n i g i 2 Así, n g n g 2 n i m 1 g n i g i 2 i m 1 n g n i g i 2 0 Norma ⇒ Puntual g n g 0 n i m 1 g n i g i 2 i m 1 n g n i g i 2 0 Ya que cada término es mayor o igual a cero, todos los términos 'm' deben ser cero. Así, n g n i g i 2 0 para todo i. Por lo tanto, g n g puntual En un espacio de dimensión finita el teorema anterior ya no es cierto. Probaremos esto con contraejemplos mostrados a continuación.

Contra Ejemplos Puntual ⇒ Norma Dada la siguiente función: g n t n 0 t 1 n 0 Entonces n g n t 0 Esto significa que, g n t g t pointwise donde para todo t g t 0 . Ahora, g n 2 t g n t 2 t 1 n 0 n 2 n Ya que la norma de la función se eleva, no puede converger a cualquier función con norma finita. Norma ⇒ Puntual Dada la siguiente función: g n t 1 0 t 1 n 0 si n es par g n t -1 0 t 1 n 0 si n es impar Entonces, g n g t 1 n 0 1 1 n 0 donde g t 0 para todo t. Entonces, g n g en la norma Sin embargo, en t 0 , g n t oscila entre -1 y 1, Y por lo tanto es no convergente. Así, g n t no tiene convergencia puntual.

Problemas Pruebe si las siguientes secuencias tienen convergencia puntual, norma de convergencia, o ambas se mantienen en sus limites. g n t 1 n t 0 t 0 t 0 g n t n t t 0 0 t 0